Question

7．如圖所示為某車間傳送裝置的簡化示意圖，由水平傳送帶、粗糙斜面、輕質彈簧及力傳感器組成．傳送帶通過一段光滑圓弧與斜面頂端相切，且保持v₀=4m/s的恒定速率運行，AB之間距離為L=8m，斜面傾角θ=37°，彈簧勁度系數k=200N/m，彈性勢能E_p=$\frac{1}{2}k{x^2}$，式中x為彈簧的形變量，彈簧處于自然狀態(tài)時上端到斜面頂端的距離為d=3.2m．現將一質量為4kg的工件輕放在傳送帶A端，工件與傳送帶、斜面間的動摩擦因數均為0.5，不計其它阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）工件傳到B端經歷的時間；
（2）傳感器的示數最大值；
（3）工件經多次緩沖后停在斜面上，傳感器的示數為20N，工件在斜面上通過的總路程．（結果保留三位有效數字）

Answer 1

分析 （1）工件輕放后向右先勻加速，如果能達到共速，接著工件向右勻速運動，分兩段可計算時間．
（2）傳感器的示數最大時就是彈簧的壓縮量最大時，可以根據動能定理求解．
（3）工件經多次緩沖后停在斜面上，摩擦力一直做負功，可以根據動能定理或能量守恒計算總路程．

解答 解：（1）設工件輕放后向右的加速度為a，達共速時位移為x₁，時間為t₁，由牛頓第二定律：μmg=ma
可得：a=μg=5m/s²
 ${t_1}=\frac{v_0}{a}=\frac{4}{5}s=0.8$
${x_1}=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{1}{2}×5×{0.8^2}m=1.6m$
接著工件向右勻速運動，設時間為t₂，
${t_2}=\frac{{L-{x_1}}}{v_0}=\frac{8-1.6}{4}s=1.6$
件傳到B端經歷的時間t=t₁+t₂=2.4s
（2）設傳感器示數最大時彈簧的壓縮量為△x₁由動能定理得：
 $mg（{d+△{x_1}}）sin{37^o}-μmg（{d+△{x_1}}）cos{37^o}-\frac{1}{2}k△{x_1}^2=0-\frac{1}{2}mv_0^2$
代入數據得：△x₁=0.8m
傳感器的示數最大值為：F_m=k•△x₁=160N
（3）設傳感器示數為20N時彈簧的壓縮量為△x₂，工件在斜面上通過的總路程為s，則：
 $△{x_2}=\frac{F_2}{k}=\frac{20}{200}m=0.1m$
由能量守恒得：$\frac{1}{2}m{v_0}^2+mg（{d+△{x_2}}）sin{37^o}=μmgscos{37^o}+\frac{1}{2}k△{x_2}^2$
代入數據得：s=6.89m
 答：（1）工件傳到B端經歷的時間2.4s
（2）傳感器的示數最大值160N
（3）工件經多次緩沖后停在斜面上，傳感器的示數為20N，工件在斜面上通過的總路程6.89m

點評 傳送帶一類問題，往往涉及多個過程，應分析計算結合．注意彈簧彈性勢能大小和型變量對應．