Question

1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小為E，第Ⅳ象限內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場．在y軸上的P點(diǎn)沿x軸正向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，粒子從x軸上Q點(diǎn)射人磁場．已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為（L，0）．不計(jì)粒子的重力及相互間作用．
（1）若粒子在Q點(diǎn)的速度方向與x軸成30°角．求P點(diǎn)的坐標(biāo)及粒子在Q點(diǎn)的速度大�。�
（2）若從y軸的正半軸上各點(diǎn)處均向x軸正向發(fā)射與（1）中相同的粒子，結(jié)果這些粒子均能從x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入磁場，并且到Q點(diǎn)速度最小的粒子A，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后．恰好垂直y軸射出磁場，求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及粒子A在磁場中運(yùn)動的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子從P到Q是類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分運(yùn)動公式列式求解即可；
（2）對類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分運(yùn)動公式求解出末速度表達(dá)式討論最小速度大小和對應(yīng)的拋出點(diǎn)坐標(biāo)；
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑；然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)公式t=$\frac{s}{v}$求解運(yùn)動時間．

解答 解：（1）粒子從P到Q過程，根據(jù)分運(yùn)動公式，有：
v_x=v₀    v_y=at   $tan30°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
L=v₀t    y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中：a=$\frac{qE}{m}$
聯(lián)立解得：
y=$\frac{\sqrt{3}}{6}L$ 
t=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}mL}{3qE}}$
v_x=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{m}}$
v_y=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$
故v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$
（2）設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，則：
對豎直分運(yùn)動，有：y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}^{2}$ 
對水平分運(yùn)動，有：L=v_xt
Q點(diǎn)的合速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+（at）^{2}}$=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{（\frac{qE}{m}•t）}^{2}}$
聯(lián)立解得：v=$\sqrt{\frac{qE}{m}（\frac{{L}^{2}}{2y}+2y）}$
其中：$\frac{{L}^{2}}{2y}+2y≥2\sqrt{\frac{{L}^{2}}{2y}}\sqrt{2y}=2L$（當(dāng)$\frac{L^2}{2y}=2y$，即$y=\frac{1}{2}L$時取等號）
故當(dāng)y=$\frac{L}{2}$時，v最小，為$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
類平拋運(yùn)動中速度偏轉(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角的正切值的2倍，故在Q點(diǎn)的速度偏轉(zhuǎn)角的正切值為：
tanα=2×$\frac{\frac{1}{2}L}{L}$=1
故α=45°
粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，軌跡如圖所示：

故對應(yīng)的圓心角為θ=$\frac{3}{4}π$；
結(jié)合幾何關(guān)系，有：r=$\frac{L}{sin45°}$=$\sqrt{2}L$
故粒子在磁場中的運(yùn)動時間為：t=$\frac{rθ}{v}$=$\frac{{\sqrt{2}L•\frac{3}{4}π}}{{\sqrt{\frac{2qEL}{m}}}}=\frac{3}{4}\sqrt{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{mL}{2qE}}$
根據(jù)牛頓第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得：B=$\sqrt{\frac{Em}{qL}}$
答：（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}L$），粒子在Q點(diǎn)的速度大小為2$\sqrt{\frac{\sqrt{3}qEL}{3m}}$；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\sqrt{\frac{Em}{qL}}$，粒子A在磁場中運(yùn)動的時間為$\frac{3}{4}\sqrt{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{mL}{2qE}}$．

點(diǎn)評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運(yùn)動，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，對于第二問，關(guān)鍵是根據(jù)類似平拋運(yùn)動規(guī)律求解出速度表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式的知識確定最小速度的大小與方向，同時要結(jié)合牛頓第二定律、幾何關(guān)系列式分析，不難．