Question

1．如圖所示CDPD′M是螺旋光滑絕緣軌道，半徑為R₁=2m的一段圓弧CD與半徑為R₂=1m的圓O相切于最低點(diǎn)D，D′M是與圓軌道相切于D′點(diǎn)的水平軌道，在M端固定一個(gè)水平放置的輕彈簧，其中PC與豎直方向成 θ=53°．在半徑為R₂的圓內(nèi)區(qū)域有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在圓O的豎直直徑POD的右方區(qū)域存在一個(gè)水平向右，大小為E=10N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.04kg、電量為q=0.2C的帶電小球，從離水平軌道D′M 高為h=1.6m的A點(diǎn)以某一水平初速度拋出，剛好沿CD弧的切線方向無(wú)碰撞地進(jìn)入CD軌道，經(jīng)D點(diǎn)進(jìn)入豎直圓軌道之后，剛好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)P，之后從最低點(diǎn)D′點(diǎn)進(jìn)入水平軌道D′M并壓縮彈簧，在距離D′點(diǎn)為L(zhǎng)=2m 的地方速度減為零．不計(jì)帶電小球電量對(duì)電場(chǎng)的影響，g=10m/s²，（sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）帶電小球平拋的初速度v₀；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度 B； 
（3）帶電小球壓縮彈簧的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，將C點(diǎn)的速度分解，即可求出初速度；
（2）小球在最高點(diǎn)受到重力和洛倫茲力的作用，合力恰好提供向心力，由此即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）帶電小球壓縮彈簧的過(guò)程中小球的機(jī)械能與電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，由功能關(guān)系即可求出最大彈性勢(shì)能．

解答 解：（1）C點(diǎn)的高度：h_C=R₁（1-cos53°）=0.4R₁=0.4×2=0.8m
小球做平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中下降的高度：△h=h-h_C=1.6-0.8=0.8m
小球到達(dá)C時(shí)沿豎直方向的分速度：${v}_{yc}=\sqrt{2g△h}=\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s
將小球在C點(diǎn)的速度分解如圖，則：tan53°=$\frac{{v}_{yc}}{{v}_{0}}$
所以：${v}_{0}=\frac{{v}_{yc}}{tan53°}=3$m/s
（2）小球從A到P的過(guò)程中電場(chǎng)力做的功是0，而洛倫茲力不做功，由動(dòng)能定理得：
$-mg（2{R}_{2}-h）=\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v_p=1m/s
小球恰好過(guò)P點(diǎn)，所以在P點(diǎn)小球恰好對(duì)軌道的壓力為0，根據(jù)重力和洛倫茲力提供向心力得：
$mg-qvB=\frac{m{v}_{p}^{2}}{{R}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得：B=1.8T
（3）帶電小球壓縮彈簧的過(guò)程中小球的機(jī)械能與電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，由功能關(guān)系得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgh+qE•L={E}_{P}$
代入數(shù)據(jù)得：E_P=4.82J
答：（1）帶電小球平拋的初速度是3m/s； （2）磁感應(yīng)強(qiáng)度是1.8T；（3）帶電小球壓縮彈簧的最大彈性勢(shì)能是4.82J．

點(diǎn)評(píng) 該題將平拋運(yùn)動(dòng)、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)與小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，考查到的知識(shí)點(diǎn)比較多，要從中理清頭緒，正確對(duì)小球減小受力分析，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)的過(guò)程列出相應(yīng)的公式進(jìn)行解答．