Question

曲線上某處的曲率半徑反映的是曲線的彎曲程度，曲率半徑越小，說明曲線彎曲的程度越高；曲率半徑相同，曲線彎曲程度相同．如圖所示，發(fā)射衛(wèi)星時(shí)先讓衛(wèi)星在近地軌道1上做圓周運(yùn)動(dòng)，后讓衛(wèi)星在以地球?yàn)橐粋�(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道2上運(yùn)動(dòng)，最后讓衛(wèi)星進(jìn)入同步軌道3做圓周運(yùn)動(dòng)．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，同步軌道的半徑為r₀，衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀．當(dāng)質(zhì)量為m的衛(wèi)星離地心的距離為r時(shí)，其引力勢(shì)能的表達(dá)式為E_p=-

GMm

r

（式中M為地球質(zhì)量），不計(jì)近地軌道距地面的高度．
（1）求衛(wèi)星在近地軌道的線速度v₁，和在同步軌道的線速度v₃．
（2）衛(wèi)星在橢圓軌道2上近地點(diǎn)處、遠(yuǎn)地點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)均可當(dāng)作圓周運(yùn)動(dòng)處理，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑可用近、遠(yuǎn)地點(diǎn)處的曲率半徑ρ（未知）來表示，求衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過近地點(diǎn)的速率”：和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率v₂′之比．
（3）需要給衛(wèi)星提供多少能量才能使其從軌道2的遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌到軌道3上？

Answer 1

（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，
對(duì)于近地衛(wèi)星，由于衛(wèi)星貼近地球表面，則
     G

Mm

R2

=m

v 21

R

  ①
對(duì)于同步衛(wèi)星，有
    G

Mm

r 20

=m

v 23

r0

  ②
又對(duì)于物體在地球表面時(shí)，萬有引力近似等于重力，則有
    m′g=G

Mm′

R2

  ③
由①②③解得，v₁=

gR

，v₃=

gR2 r0

（2）由題，衛(wèi)星在橢圓軌道2上近地點(diǎn)處、遠(yuǎn)地點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)均可當(dāng)作圓周運(yùn)動(dòng)處理，則得
    v₁′=v₁，r₂′=v₂，
所以v₁′：v₂′=

gR

：

gR2 r0

=

r0

：

R

  
（3）衛(wèi)星在橢圓軌道2上近地點(diǎn)處，有 引力勢(shì)能為E_p1=-

GMm

R

，動(dòng)能為E_k1=

1

2

m

v

21

=

1

2

m?(

gR

)2=

1

2

mgR
軌道3上衛(wèi)星的引力勢(shì)能為  E_p2=-

GMm

r0

，動(dòng)能為E_k2=

1

2

m

v

23

=

mgR2

2r0

設(shè)需要給衛(wèi)星提供能量為E時(shí)，能使其從軌道2的遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌到軌道3上，根據(jù)能量守恒得：
   E=（E_p2+E_k2）-（E_p1+E_k1）=（-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

）-（-

GMm

R

+

1

2

mgR）=-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

+

GMm

R

-

1

2

mgR．
答：（1）衛(wèi)星在近地軌道的線速度v₁為

gR

，在同步軌道的線速度v₃為

gR2 r0

．
（2）衛(wèi)星在軌道2上運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)過近地點(diǎn)的速率v₁′和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率v₂′之比為

r0

：

R

．
（3）需要給衛(wèi)星提供-

GMm

r0

+

mgR2

2r0

+

GMm

R

-

1

2

mgR的能量才能使其從軌道2的遠(yuǎn)地點(diǎn)變軌到軌道3上．