Question

20．我們知道月球的公轉(zhuǎn)周期等于月球的自轉(zhuǎn)周期，這使得我們只能看見(jiàn)月球的同一面，月球背面也因此成了人們假想中金字塔、飛碟、人工幾何圖的蝸居地．為此，我們可以利用“嫦娥”探月衛(wèi)星來(lái)獲取月球表面全貌的信息，再用微波信號(hào)發(fā)回地球．但是，衛(wèi)星在月球的背面由于月球遮擋也不能將微波信號(hào)發(fā)回地球，為此有學(xué)者提出就像地球一樣發(fā)射月球的同步衛(wèi)星來(lái)實(shí)現(xiàn)在背面也能傳送微波信號(hào)的設(shè)想，如果已知地球的質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍，月球與地球中心相距地球半徑的60倍，$\root{3}{3}$=1.44，如果只考慮地球與月球?qū)πl(wèi)星的影響．則：
（1）月球的同步軌道半徑約為地球半徑的多少倍？
（2）在月球的同步軌道上，地球?qū)πl(wèi)星的最大引力約為月球?qū)πl(wèi)星引力的多少倍？
（3）你認(rèn)為這樣的同步衛(wèi)星能夠?qū)崿F(xiàn)嗎？

Answer 1

分析 （1）地球?qū)υ虑虻奈�引力提供月球的向心力，月球�(qū)πl(wèi)星的吸引力提供衛(wèi)星的向心力，結(jié)合牛頓第二定律，聯(lián)立即可求出；
（2）當(dāng)?shù)厍蚺c衛(wèi)星之間的距離最小時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的引力最大，結(jié)合萬(wàn)有引力定律即可求出；
（3）根據(jù)月球的自轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，結(jié)合衛(wèi)星的特點(diǎn)分析即可．

解答 解：（1）設(shè)月球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，則其公轉(zhuǎn)的周期也是T，月球的同步衛(wèi)星的周期也是T；月球的公轉(zhuǎn)：
$\frac{G{M}_{地}{M}_{月}}{{r}_{月}^{2}}=\frac{{M}_{月}4{π}^{2}{r}_{月}}{{T}^{2}}$
對(duì)月球的同步衛(wèi)星：$\frac{G{M}_{月}m}{{r}_{衛(wèi)星}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{r}_{衛(wèi)星}}{{T}^{2}}$
又：r_月=60R，M_地=81M_月
聯(lián)立得：${r}_{衛(wèi)星}=\root{3}{\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}}•{r}_{月}$=$\root{3}{\frac{1}{81}}•60R=20R$
即為地球的半徑的20倍．
（2）當(dāng)?shù)厍蚺c衛(wèi)星之間的距離最小時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的引力最大，此時(shí)衛(wèi)星到地球的距離為：r′=r_月-r_衛(wèi)星=60R-20R=40R
地球?qū)πl(wèi)星的吸引力：${F}_{1}=\frac{G{M}_{地}m}{r{′}^{2}}$
月球?qū)πl(wèi)星的吸引力：${F}_{2}=\frac{G{M}_{月}m}{{r}_{衛(wèi)星}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：${F}_{1}=\sqrt{3}{F}_{2}$
（3）由于月球的公轉(zhuǎn)周期等于月球的自轉(zhuǎn)周期，這使得我們只能看見(jiàn)月球的同一面，而月球的同步衛(wèi)星相對(duì)于月球是靜止的，所以這樣的同步衛(wèi)星不能夠?qū)崿F(xiàn)在月球的背面由于月球遮擋也能將微波信號(hào)發(fā)回地球．
答：（1）月球的同步軌道半徑約為地球半徑的20倍；
（2）在月球的同步軌道上，地球?qū)πl(wèi)星的最大引力約為月球?qū)πl(wèi)星引力的$\sqrt{3}$倍；
（3）這樣的同步衛(wèi)星不能夠?qū)崿F(xiàn)嗎．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要建立衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)模型，分析向心力來(lái)源，抓住萬(wàn)有引力提供向心力，列式求解．