Question

7．輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2L，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)．現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長(zhǎng)度為5L的水平軌道，B端與半徑為L(zhǎng)的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖所示．物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度為L(zhǎng)處，然后釋放，P開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g．
（1）彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能；
（2）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（3）它到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力及離開(kāi)圓軌道后落回AB上的位置與B點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)彈簧豎直放置時(shí)物體下落過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒即可求得彈性勢(shì)能；
（2）對(duì)P從釋放到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒求得在D點(diǎn)的速度，即可由牛頓第二定律求得支持力，進(jìn)而由牛頓第三定律求得壓力；然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平位移．

解答 解：（1）物體下落過(guò)程只有重力、彈簧彈力做功，故機(jī)械能守恒，那么，彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為：
E_p=5mgL；
（2）物塊P從彈簧壓縮至長(zhǎng)度為L(zhǎng)處釋放到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有彈簧彈力和摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：
${E}_{p}-μmg•5L=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為：
${v}_{B}=\sqrt{\frac{{E}_{p}-2.5mgL}{\frac{1}{2}m}}=\sqrt{5gL}$；
（3）物塊P在圓軌道上運(yùn)動(dòng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+2mgL$
解得：${v}_{D}=\sqrt{gL}$；
那么，對(duì)物塊P在D點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得支持力為：${F}_{N}=\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{L}-mg=0$，故由牛頓第三定律可得：它到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為零；
物塊P離開(kāi)圓軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，那么有：
$2L=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$x={v}_{D}t=\sqrt{gL}•\sqrt{\frac{4L}{g}}=2L$
所以，離開(kāi)圓軌道后落回AB上的位置與B點(diǎn)間的距離為2L；
答：（1）彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為5mgL；
（2）若P的質(zhì)量為m，那么P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{5gL}$；
（3）它到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為零，離開(kāi)圓軌道后落回AB上的位置與B點(diǎn)間的距離為2L．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．