Question

19．如圖所示，水平傳送帶AB長度L=3.3m，沿順時(shí)針方向以v₀=8m/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一半徑R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道DA與傳送帶相切于A點(diǎn)，傳送帶與一長度s=2.4m的平臺(tái)水平相切干B點(diǎn)，C點(diǎn)右側(cè)是一個(gè)高度h=1.25m、寬度未知的壕溝，一質(zhì)量m=0.1kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從D點(diǎn)由靜止釋放，滑塊最終恰好越過壕溝落在平臺(tái)最左端E點(diǎn)．已知滑塊與傳送帶及BC面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．試求：

（1）滑塊通過傳送帶的過程，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能△E_電．
（2）壕溝的寬度L及滑塊從滑上傳送帶到落在平臺(tái)上E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t．
（3）滑塊落在平臺(tái)上時(shí)，速度方向與豎直方向的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）滑塊通過傳送帶的過程，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能等于滑塊增加的動(dòng)能和產(chǎn)生的內(nèi)能之和．先根據(jù)機(jī)械能守恒求出滑塊滑到A點(diǎn)時(shí)的速度．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出滑塊與傳送帶間的相對(duì)位移，從而求得摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，再根據(jù)能量守恒定律求電動(dòng)機(jī)多消耗的電能△E_電．
（2）滑塊從B到C的過程，通知?jiǎng)幽芏ɡ砬蟪龌瑝K到達(dá)C點(diǎn)的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求壕溝的寬度L和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得從A到E的總時(shí)間t．
（3）根據(jù)時(shí)間求得滑塊落在平臺(tái)上時(shí)豎直分速度，再求速度方向與豎直方向的夾角θ．

解答 解：（1）滑塊從D運(yùn)動(dòng)到A的過程，由機(jī)械能守恒定律有：mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=4m/s
滑塊滑上傳送帶后先做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為：
a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
勻加速至與傳送帶共速的時(shí)間為：
t₁=$\frac{{v}_{0}-{v}_{A}}{a}$=$\frac{8-4}{5}$=0.8s
勻加速運(yùn)動(dòng)通過的位移為：
x=$\frac{{v}_{A}+{v}_{0}}{2}{t}_{1}$=$\frac{4+8}{2}×0.8$=4.8m＞L=3.3m
所以滑塊在傳送帶上一直勻加速，設(shè)勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂．則有：
L=v_At₂+$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=0.6s
滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度為：v_B=v_A+at₂=4+5×0.6=7m/s
滑塊與傳送帶間的相對(duì)位移為：△x=v₀t₂-L=8×0.6-3.3=1.5m
所以滑塊通過傳送帶的過程，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能為：△E_電=μmg△x+（$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$）
代入數(shù)據(jù)解得：△E_電=2.4J
（2）滑塊從B到C的過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=5m/s
滑塊做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₃=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5s
壕溝的寬度為：S=v_Ct₃=5×0.5m=2.5m
滑塊從滑上傳送帶到落在平臺(tái)上E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為：t=t₂+t₃=1.1s
（3）根據(jù)速度分解有：tanθ=$\frac{g{t}_{3}}{{v}_{C}}$=$\frac{10×0.5}{5}$=1
得：θ=45°
答：（1）滑塊通過傳送帶的過程，電動(dòng)機(jī)多消耗的電能△E_電是2.4J．
（2）壕溝的寬度是2.5m，滑塊從滑上傳送帶到落在平臺(tái)上E點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t是1.1s．
（3）滑塊落在平臺(tái)上時(shí)，速度方向與豎直方向的夾角θ是45°．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵明確滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分階段運(yùn)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理列式求解，要抓住各個(gè)過程之間的聯(lián)系，如前一過程的末速度是后過程的初速度．摩擦產(chǎn)生的熱量與相對(duì)位移有關(guān)．