Question

2．如圖（甲）所示，兩個水平和傾斜光滑直導(dǎo)軌都通過光滑圓弧對接而成，相互平行放置，兩導(dǎo)軌相距L=lm，傾斜導(dǎo)軌與水平面成θ=30°角，傾斜導(dǎo)軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強(qiáng)磁場區(qū)I中，I區(qū)中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁隨時間變化的規(guī)律如圖（乙）所示垂直斜面向上為正值，圖中t₁、t₂未知．水平導(dǎo)軌足夠長，其左端接有理想靈敏電流計G（內(nèi)阻不計）和定值電阻R=3Ω，水平導(dǎo)軌處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場區(qū)Ⅱ中，Ⅱ區(qū)中的磁場恒定不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=1T，在t=0時刻，從斜軌上磁場I區(qū)外某處垂直于導(dǎo)軌水平靜止釋放一金屬棒ab，棒的質(zhì)量m=0.1kg，棒的電阻r=2Ω，棒下滑時與導(dǎo)軌保持良好接觸設(shè)棒通過光滑圓弧前后速度大小不變，導(dǎo)軌的電阻不計．若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，靈敏電流計指針穩(wěn)定時顯示的電流大小相等，t₂時刻進(jìn)入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平且與桿垂直的外力．（g取10m/s²）求：

（1）ab棒進(jìn)入磁場區(qū)I時速度V的大��；
（2）磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）棒從開始運(yùn)動到剛好進(jìn)入水平軌道這段時間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q；
（4）若棒在t₂時刻進(jìn)入水平導(dǎo)軌后，電流計G的電流I隨時間t變化的關(guān)系如圖（丙）所示（而未知），已知t₂到t₃的時間為0.5s，t₃到t₄的時間為1s，請?jiān)趫D（丁）中作出t₂到t₄時間內(nèi)外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象．（從上向下看逆時針方向?yàn)殡娏髡�方向�?

Answer 1

分析 （1）電流表的示數(shù)保持不變，整個下滑過程中回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變，可判斷出在t₁時刻棒剛好進(jìn)入磁場Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動，由平衡條件和安培力、歐姆定律、法拉第定律結(jié)合求解v；
（2）棒沒進(jìn)入磁場以前做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出下滑的距離，由于棒進(jìn)入磁場后產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）ab棒進(jìn)入磁場以前，由焦耳定律求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱．進(jìn)入磁場Ⅰ的過程中，棒的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能量守恒求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱；
（4）根據(jù)圖線寫出I-t′方程式，由歐姆定律I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$，得到速度與時間的表達(dá)式，即可求出加速度，由牛頓第二定律得到外力F與時間的關(guān)系式，作出圖象．

解答 解：（1）電流表的示數(shù)不變，說明在整個下滑過程中回路的電動勢是不變的，說明在B變化時和不變時感應(yīng)電動勢大小一樣，所以可以判斷在t₁時刻棒剛好進(jìn)入磁場Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動．則
  mgsinθ-BIL=0．
又I=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$，E₁=BLv
代入數(shù)據(jù)得：V=2.5m/s
（2）沒進(jìn)入磁場以前做勻加速直線運(yùn)動，加速度是：
a=gsin30°=5m/s²，v=at，t₁=0.5s
下滑的距離是：S₁=$\frac{1}{2}$at²=0.625m
在沒進(jìn)入磁場以前，由于B均勻變化，所以E₂=$\frac{△B}{△t}$•Ld
又E₁=BLv，
且 E₁=E₂
解得：d=0.625m
（3）ab棒進(jìn)入磁場以前，棒上產(chǎn)生的熱量為：Q₁=I²Rt₁=0.25J　　
取ab棒在斜軌磁場中運(yùn)動為研究過程有：mgsinθ-Q₂=0
解得：Q₂=0.3125J  　
此時，棒上產(chǎn)生的總熱量為：Q_2r=$\frac{r}{R+r}$Q=0.125J 
則棒上產(chǎn)生的總熱量是：Q_r=Q₁+Q_2r=0.375J
（4）因?yàn)镋=BLV，所以剛進(jìn)水平軌道時的電動勢是：E=2.5V，I₀=$\frac{BLv}{R+r}$=0.5A
取t₂時刻為零時刻，則根據(jù)圖線可以寫出I-t′方程式　I=0.5-t′，
又I=$\frac{BLv}{R+r}$
則得 v=2.5-5 t′．所以a₁=5m/s²．
由牛頓第二定律得：F+BIL=ma₁．F+I=1，F(xiàn)=t′，畫出坐標(biāo)系．
t₃到t₄的時間為1s，取t₃時刻為零時刻，可寫出t₃時刻后的I與時間的關(guān)系式，I″=0.5 t''，速度的表達(dá)式V″=2.5t″
則得棒運(yùn)動的加速度大小a₂=2.5m/s²　
依牛頓第二定律有：
F-BIL=ma₂
代入上面的式子得F=0.25+0.5 t''畫在坐標(biāo)系里．

答：（1）ab棒進(jìn)入磁場區(qū)I時速度V的大小是2.5m/s；
（2）磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d是0.625m；
（3）棒從開始運(yùn)動到剛好進(jìn)入水平軌道這段時間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q是0.375J；
（4）作出t₂到t₄時間內(nèi)外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象如圖所示．

點(diǎn)評 本題綜合了法拉第定律、歐姆定律、焦耳定律及力學(xué)中牛頓第二定律等等多個知識，關(guān)鍵能把握每個過程的物理規(guī)律，有運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．