Question

12．如圖，一關(guān)于y軸對稱的導(dǎo)體軌道位于水平面內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場與平面垂直．一足夠長，質(zhì)量為m的直導(dǎo)體棒沿x軸方向置于軌道上，在外力F作用下從原點由靜止開始沿y軸正方向做加速度為a的勻速加速直線運(yùn)動，運(yùn)動時棒與x軸始終平行．棒單位長度的電阻ρ，與電阻不計的軌道接觸良好，運(yùn)動中產(chǎn)生的熱功率隨棒位置的變化規(guī)律為P=ky${\;}^{\frac{3}{2}}$（SI）．求：
（1）導(dǎo)體軌道的軌道方程y=f（x）；
（2）棒在運(yùn)動過程中受到的安培力F_m隨y的變化關(guān)系；
（3）棒從y=0運(yùn)動到y(tǒng)=L過程中外力F的功．

Answer 1

分析 （1）求出安培力的功率及題給表達(dá)式，勻變速運(yùn)動的速度位移關(guān)系，電阻關(guān)系式聯(lián)立而得到軌道方程
（2）將安培力表示出來，聯(lián)立軌道方程即可求解
（3）根據(jù)動能定理求外力F做功

解答 解：（1）設(shè)棒運(yùn)動到某一位置時與軌道接觸點的坐標(biāo)為（±x，y），安培力的功率為：
$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{j}_{\;}^{2}v}{R}$
$P=\frac{4{B}_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}{v}_{\;}^{2}}{R}=k{y}_{\;}^{\frac{3}{2}}$
棒做勻加速運(yùn)動，有：
${v}_{\;}^{2}=2ay$
R=2ρx
代入前式得：$y=（\frac{4a{B}_{\;}^{2}}{kρ}）_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}$
軌道形式為拋物線．
（2）安培力為：${F}_{m}^{\;}=\frac{4{B}_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}}{R}v=\frac{2{B}_{\;}^{2}x}{ρ}\sqrt{2ay}$
以軌道方程代入得：
${F}_{m}^{\;}=\frac{k}{\sqrt{2a}}y$
（3）由動能定理有：${W}_{F}^{\;}-{W}_{m}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
y=L時     $F=\frac{k}{\sqrt{2a}}L$
安培力平均值$\overline{F}=\frac{k}{\sqrt{2a}}\frac{L}{2}$
安培力做功$W=\overline{F}•L=\frac{k}{\sqrt{2a}}\frac{L}{2}•L=\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}$
安培力做功為：${W}_{m}^{\;}=\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}$
棒在y=L處動能為：E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=maL$
外力F做功為：$W=\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}+maL$
答：（1）導(dǎo)體軌道的軌道方程$y=（\frac{4a{B}_{\;}^{2}}{kρ}）_{\;}^{2}{x}_{\;}^{2}$
（2）棒在運(yùn)動過程中受到的安培力F_m隨y的變化關(guān)系${F}_{m}^{\;}=\frac{k}{\sqrt{2a}}y$；
（3）棒從y=0運(yùn)動到y(tǒng)=L過程中外力F的功$\frac{k}{2\sqrt{2a}}{L}_{\;}^{2}+maL$+mgL．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)和能量知識的綜合，一要掌握力學(xué)的基本運(yùn)動規(guī)律和動能定理，二要熟練運(yùn)用電磁感應(yīng)的規(guī)律，如法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式進(jìn)行綜合解題．