Question

12．如圖所示，“”型平行金屬導軌LMN和OPQ分別固定，所構成的兩個平面粗糙程度相同，MNPQ水平，LMOP傾斜、與水平面的夾角為θ．將兩根電阻均為R、質量均為m的導體桿ab和cd，垂直放置在導軌上，cd桿剛好靜止．現以MP連線為界，在水平導軌間加豎直向上的勻強磁場B₁，傾斜導軌間加垂直斜面向上的勻強磁場B₂，兩個磁場的磁感應強度大小均為B，讓ab桿在水平恒力作用下由靜止開始向右運動．當cd桿再次剛要滑動時ab桿恰好運動了位移x達到最大速度，已知兩導軌間距為L，重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，金屬導軌的電阻不計．求：
（1）ab桿由靜止到剛好達到最大速度的過程中流過桿cd的電量；
（2）桿ab的最大速度；
（3）ab桿由靜止到剛好達到最大速度的過程中兩桿產生的總的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）應用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出感應電流，由電流定義式求出電荷量．
（2）桿勻速運動時速度最大，應用平衡條件求出最大速度．
（3）應用能量守恒定律可以求出兩桿產生的總焦耳熱．

解答 解：（1）平均感應電動勢為：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{BLx}{△t}$，
平均感應電流為：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$=$\frac{BLx}{2R△t}$，
通過cd桿的電荷量為：q=$\overline{I}$△t=$\frac{BLx}{2R}$；
（2）ab桿先做加速度減小的加速運動，后做勻速直線運動，ab桿做勻速直線運動時速度最大，此時桿受到的安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
開始時ab剛好靜止，由平衡條件得：mgsinθ=f，
cd桿到達最大速度時，ab桿恰好剛要滑動，由平衡條件得：mgsinθ+f=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$，
解得，cd桿的最大速度為：v=$\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）對cd桿達到最大速度時，由平衡條件得：
F=$\frac{f}{cosθ}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$=mgtanθ+2mgsinθ，
由能量守恒定律得：（F-$\frac{f}{cosθ}$）x=Q+$\frac{1}{2}$mv²，
解得：Q=2mgxsinθ-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）ab桿由靜止到剛好達到最大速度的過程中流過桿cd的電量為$\frac{BLx}{2R}$；
（2）桿ab的最大速度為$\frac{4mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）ab桿由靜止到剛好達到最大速度的過程中兩桿產生的總的焦耳熱為2mgxsinθ-$\frac{8{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題看似雙棒問題，實質上單棒運動問題，對于cd棒關鍵要抓住平衡條件進行分析，對cd棒的運動過程分析清楚，同時要抓住兩棒所受的安培力大小相等．