Question

1．如圖是測定帶電粒子比荷的一種裝置，圖中點(diǎn)劃線PQ是裝置的軸線．A是粒子源，粒子（不計重力）自小孔飛出，經(jīng)電壓U₀（可調(diào)）加速后沿軸線PQ進(jìn)入裝置B．裝置B“上”、“下”兩平行板間距離為d，電勢差為U，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，方向與極板平行，電場、磁場的方向相互垂直且均與PQ垂直．B是僅允許沿軸線PQ方向運(yùn)動的粒子才能通過的裝置．C是一半徑為R、圓心O在PQ上的有理想圓形邊界的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，方向與PQ垂直（垂直紙面向里）．MN為垂直于PQ的熒光屏，跟0相距L．整個裝置置于真空中．測量時，仔細(xì)調(diào)整加速電壓，使MN上出現(xiàn)亮點(diǎn)，測量出亮點(diǎn)到屛中心的距離Y．（可能用到的數(shù)學(xué)公式：tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}$）

（1）帶電粒子從裝置B中飛出時的速度v₀是多少？
（2）帶電粒子的比荷為多少？

Answer 1

分析 （1）可知裝置B為速度選擇器模型，在裝置B中做勻速直線運(yùn)動的條件為電場力與洛倫茲力平衡，再結(jié)合勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度與電勢差之間的關(guān)系式即可求出速度v；
（2）帶電粒子在有界磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系聯(lián)立即可求出比荷．

解答 解：（1）設(shè)粒子電量為q，B裝置兩板間電場強(qiáng)度為E，B裝置為速度選擇器，粒子在B裝置中做勻速直線運(yùn)動
有：qv₀B₁=Eq ①
根據(jù)勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度與電勢差之間的關(guān)系式可得：E=$\frac{U}bjlf9zt$ ②
①②式聯(lián)立可得v₀=$\frac{U}{{B}_{1}d}$ ③
（2）畫出粒子運(yùn)動的軌跡過程圖，如圖所示，設(shè)粒子從D點(diǎn)進(jìn)入磁場，粒子做圓周運(yùn)動的圓心為O′，半徑為r，所轉(zhuǎn)過的圓心角為2θ，
根據(jù)對稱性可知粒子沿半徑方向入射一定沿半徑方向出射，延長MC正好過圓心O．
根據(jù)洛倫茲力提供向心力：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ 
可得：r=$\frac{{mv}_{0}}{q{B}_{2}}$ ④
根據(jù)幾何關(guān)系可知：∠MOQ=∠CO′D=2θ，∠DO′O=θ
在△MOQ中有：tan2θ=$\frac{Y}{L}$ ⑤
在△O′DO中有：tanθ=$\frac{R}{r}$ ⑥
根據(jù)題中所給數(shù)學(xué)公式可得：tan2θ=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$ ⑦
聯(lián)立③④⑤⑥⑦式可得：$\frac{q}{m}$=$\frac{（\sqrt{{L}^{2}+{Y}^{2}}-L）U}{RY{B}_{1}{B}_{2}d}$
答：（1）帶電粒子從裝置B中飛出時的速度v₀為$\frac{U}{{B}_{1}d}$；
（2）帶電粒子的比荷為$\frac{（\sqrt{{L}^{2}+{Y}^{2}}-L）U}{RY{B}_{1}{B}_{2}d}$．

點(diǎn)評 本題考查速度選擇器模型和帶電粒子在磁場中的運(yùn)動以及數(shù)學(xué)中關(guān)于圓的平面幾何知識；第二問解決問題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確畫出粒子在有界磁場中運(yùn)動的軌跡，確定軌跡圓心，找到半徑R滿足的幾何關(guān)系，再與牛頓第二定律（洛倫茲力提供向心力）結(jié)合．