Question

7．火星是太陽(yáng)系中最類似地球的行星，人類為了探索火星的奧秘已經(jīng)向這顆紅色星球發(fā)送了許多探測(cè)器，其中有的已經(jīng)登陸火星表面，有的圍繞火星飛行．已知一繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的探測(cè)器軌道半徑為r，周期為T(mén)．若將火星視為質(zhì)量分布均勻、半徑為R的球體，且忽略火星的自轉(zhuǎn)影響，求：
（1）火星的第一宇宙速度v；
（2）火星表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出火星的質(zhì)量，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合火星的半徑求出火星的第一宇宙速度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出火星表面的重力加速度．

解答 解：（1）設(shè)火星質(zhì)量為M、探測(cè)器的質(zhì)量為m，根據(jù)探測(cè)器繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$   　　①
設(shè)質(zhì)量為m₁的衛(wèi)星以第一宇宙速度繞火星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：$G\frac{M{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{R}$   　�、�
由①②式可得：v=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$．
（2）設(shè)在火星表面上有質(zhì)量為m2的物體，有：$G\frac{M{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$　　　③
由①③式可得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）火星的第一宇宙速度為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$；
（2）火星表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．