Question

2．如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒B，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)A．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg．?dāng)嚅_輕繩，棒和環(huán)自由下落．與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）若k＜1，在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應(yīng)該多長(zhǎng)？
（2）若k＞1，
①?gòu)臄嚅_輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s；
②從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止．摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W，假設(shè)棒足夠長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）A和B第一次下降時(shí)，都是做自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)木棒與地面相碰后，木棒開始向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)A在摩擦力的作用下，向下做加速運(yùn)動(dòng)，分析木棒的運(yùn)動(dòng)情況可知，木棒的速度小于圓環(huán)A的速度，木棒受到的摩擦力始終向下，由牛頓第二定律求出加速度，再由位移公式可以計(jì)算出木棒的長(zhǎng)度．
（2）棒運(yùn)動(dòng)的總路程為原來(lái)下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對(duì)棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求得上升的高度；　
（3）整個(gè)過(guò)程中能量的損失都是由于摩擦力對(duì)物體做的功，所以根據(jù)能量的守恒可以較簡(jiǎn)單的求得摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功．

解答 解：B再次著地時(shí)共用時(shí)  t=$\frac{2v}{{a}_{B}}$
對(duì)A物體：mg-f=ma_A
在此時(shí)間內(nèi)A的位移X_a=vt+$\frac{1}{2}$a_At²                             
要在B再次著地前A不脫離B，木棒長(zhǎng)度L必須滿足條件X_a≤L
解得：L≥$\frac{{{8m}^{2}g}^{2}h}{{（mg+f）}^{2}}$
（2）設(shè)以地面為零勢(shì)能面，向上為正方向，棒第一次落地的速度大小為v₁
由機(jī)械能守恒$\frac{1}{2}×2m{{v}_{1}}^{2}=2mgH$
解得 ${v}_{1}=\sqrt{2gH}$
設(shè)棒彈起后的加速度a_棒
由牛頓第二定律 a_棒=-（k+1）g
棒第一次彈起的最大高度${H}_{1}=-\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{棒}}$ 
解得 ${H}_{1}=\frac{H}{k+1}$
棒運(yùn)動(dòng)的路程  S=H+2H₁=$\frac{k+3}{k+1}H$
（3）設(shè)環(huán)相對(duì)棒滑動(dòng)距離為l
根據(jù)能量守恒  mgH+mg（H+l）=kmgl
摩擦力對(duì)棒及環(huán)做的總功為：W=-kmgl
解得：$W=-\frac{2kmgH}{k-1}$．
答：（1）若k＜1，在B再次著地前，要使A不脫離B，B至少應(yīng)該為大于等于$\frac{{{8m}^{2}g}^{2}h}{{（mg+f）}^{2}}$
（2）若k＞1，
①?gòu)臄嚅_輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s為$\frac{k+3}{k+1}H$
②從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止．摩擦力對(duì)環(huán)及棒做的總功W為$-\frac{2kmgH}{k-1}$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合性較強(qiáng)，涉及多過(guò)程運(yùn)動(dòng)分析，難點(diǎn)在于分析棒和環(huán)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得出位移，最后一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)是摩擦生熱的計(jì)算．