Question

18．乒乓發(fā)球機的簡化模型示意圖如圖所示．發(fā)球機的機頭相當于一個長l=20cm 的空心圓柱（內徑比乒乓球的直徑略大），水平固定在球臺邊緣O點上方H=45cm處，可繞C軸在水平面內轉動，從而改變球的落點．球臺長為L=3m，位于球臺中央的球網(wǎng)高h=25cm，出球口離盛球容器底部的高度H₀=50cm，不考慮乒乓球的旋轉、空氣阻力和發(fā)球機軌道對球的阻力．已知一只乒乓球的質量約3g，（取重力加速度g=10m/s²）

（1）若發(fā)球機的機頭不轉動，且出球點在O點正上方，當發(fā)球機發(fā)出的球能過網(wǎng)且落在球臺上，求發(fā)球機出球的速度大小范圍；
（2）若發(fā)球機機頭以ω=5rad/s按俯視圖所示方向轉動，且出球時乒乓球相對機頭的速度為9m/s．求出球點轉到O點正上方時所發(fā)出球的最后落點位置，結果用xoy坐標系中的坐標值表示；
（3）在題（2）問情景下，若發(fā)球機每分鐘發(fā)出30只球，求發(fā)球機因發(fā)球而消耗的平均功率．

Answer 1

分析 （1）乒乓球做平拋運動，抓住兩個臨界狀態(tài)，即球剛好過網(wǎng)和球剛好不出界，結合高度求出平拋運動的時間，根據(jù)水平位移和時間求出最小初速度和最大初速度，從而得出初速度的大小范圍．
（2）根據(jù)高度求出平拋運動的時間，將小球出來時的速度沿x和y方向分解，結合兩個分速度求出兩個分位移，從而確定球落點的位置坐標．
（3）根據(jù)功能關系得出一個乒乓球獲得的機械能，從而得出所做的功，結合平均功率公式求出發(fā)球機因發(fā)球而消耗的平均功率．

解答 解：（1）根據(jù)H-h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（0.45-0.25）}{10}}s=0.2s$，
則發(fā)球機出球的最小速度為：
${v}_{1}=\frac{\frac{L}{2}}{{t}_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{0.2}m/s=7.5m/s$，
根據(jù)$H=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
則發(fā)球機出球的最大速度為：${v}_{2}=\frac{L}{{t}_{2}}=\frac{3}{0.3}m/s=10m/s$．
發(fā)球機出球的速度大小范圍為：7.5m/s＜v＜10m/s．
（2）機頭轉動的線速度為：v₃=lω=0.2×5m/s=1m/s，
根據(jù)平行四邊形定則知，球出后的速度為：$v=\sqrt{{{v}_{3}}^{2}+{{v}_{4}}^{2}}=\sqrt{1+81}m/s=\sqrt{82}$m/s，
球出后做平拋運動，在xoy坐標系中，縱坐標為：y=v₃t₂=1×0.3m=0.3m，橫坐標為：x=v₄t₂=9×0.3m=2.7m．
最后落點位置坐標為（0.3m，2.7m）．
（3）每個乒乓球的機械能為：E=$mg{H}_{0}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$3×1{0}^{-3}×10×0.5+\frac{1}{2}×3×1{0}^{-3}×82$J=0.138J，
發(fā)球機因發(fā)球而消耗的平均功率為：P=$\frac{W}{t}=\frac{30E}{t}=\frac{0.138×30}{60}W=0.069W$．
答：（1）發(fā)球機出球的速度大小范圍為7.5m/s＜v＜10m/s．
（2）最后落點位置坐標為（0.3m，2.7m）．
（3）發(fā)球機因發(fā)球而消耗的平均功率為0.069W．

點評 本題考查了平拋運動在實際生活中的運用，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，抓住臨界狀態(tài)，結合運動學公式靈活求解．