Question

9．如圖所示，將一質(zhì)量m=0.1kg的小球自水平平臺頂端O點(diǎn)水平拋出，小球恰好無碰撞地落到平臺右側(cè)一傾角為α=53°的光滑斜面頂端A并沿斜面下滑，斜面底端B與光滑水平軌道平滑連接，小球以不變的速率過B點(diǎn)后進(jìn)入BC部分，再進(jìn)入豎直圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動．已知斜面頂端與平臺的高度差h=3.2m，斜面高H=15m，豎直圓軌道半徑R=5m．取sin 53°=0.8，cos 53°=0.6，g=10m/s²，試求：
（1）小球水平拋出的初速度v₀及斜面頂端與平臺邊緣的水平距離x；
（2）小球從平臺頂端O點(diǎn)拋出至落到斜面底端B點(diǎn)所用 的時(shí)間；
（3）若豎直圓軌道光滑，小球運(yùn)動到圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）小球水平拋出后剛好能沿光滑斜面下滑，說明此時(shí)小球的速度的方向恰好沿著斜面的方向，由此可以求得初速度的大小；小球在接觸斜面之前做的是平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律可以求得接觸斜面之前的水平方向的位移，即為斜面頂端與平臺邊緣的水平距離；
（2）小球在豎直方向上做的是自由落體運(yùn)動，根據(jù)自由落體的規(guī)律可以求得到達(dá)斜面用的時(shí)間，到達(dá)斜面之后做勻加速直線運(yùn)動，求得兩段的總時(shí)間即可．
（3）先求出小球運(yùn)動到圓軌道最高點(diǎn)的速度，再根據(jù)圓周運(yùn)動向心力公式即可求解．

解答 解：（1）小球做平拋運(yùn)動落至A點(diǎn)時(shí)，由平拋運(yùn)動的速度分解圖可得：
v₀=v_ycot α  
由平拋運(yùn)動規(guī)律得：v${\;}_{y}^{2}$=2gh
h=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$  
x=v₀t₁
聯(lián)立解得：v₀=6 m/s，x=4.8 m
（2）小球從平臺頂端O點(diǎn)拋出至落到斜面頂端A點(diǎn)，需要時(shí)間
t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.8 s 
小球在A點(diǎn)的速度沿斜面向下，速度大小
v_A=$\frac{{v}_{0}}{cosα}$=10 m/s 
從A點(diǎn)到B點(diǎn)
由動能定理得mgH=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$ 
解得v_B=20 m/s
小球沿斜面下滑的加速度a=gsin α=8 m/s²
由v_B=v_A+at₂，
解得t₂=1.25 s 
小球從平臺頂端O點(diǎn)拋出至落到斜面底端B點(diǎn)所用的時(shí)間
t=t₁+t₂=2.05 s 
（3）水平軌道BC及豎直圓軌道均光滑，小球從B點(diǎn)到D點(diǎn)，由動能定理可得
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$ 
在D點(diǎn)由牛頓第二定律可得：F_N+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F_N=3 N 
由牛頓第三定律可得，小球在D點(diǎn)對軌道的壓力F_N′=3 N，方向豎直向上
答：（1）小球水平拋出的初速度v₀為6 m/s，斜面頂端與平臺邊緣的水平距離x為4.8 m；
（2）小球從平臺頂端O點(diǎn)拋出至落到斜面底端B點(diǎn)所用 的時(shí)間為2.05 s；
（3）若豎直圓軌道光滑，小球運(yùn)動到圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對軌道的壓力為3 N，方向豎直向上．

點(diǎn)評 小球在接觸斜面之前做的是平拋運(yùn)動，在斜面上時(shí)小球做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)兩個(gè)不同的運(yùn)動的過程，分段求解即可．