Question

2．圖1是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖．在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一矩形線框abcd可繞線框平面內(nèi)垂直于磁感線的OO'軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由線框引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個(gè)跟線框一起繞OO'轉(zhuǎn)動(dòng)的金屬圈環(huán)相連接，金屬圓環(huán)又分別與兩個(gè)固定的電刷保持滑動(dòng)接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路．圖2是線圈的主視圖，導(dǎo)線ab和cd分別用它們的橫截面來表示．已知ab長度為L₁，bc長度為L₂，線框的匝數(shù)為N，線圈以恒定角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）推導(dǎo)線框中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值的表達(dá)式；
（2）線框平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，寫出t時(shí)刻線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值的表達(dá)式；
（3）若線框電阻為r，求外力驅(qū)動(dòng)線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功．

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉(zhuǎn)動(dòng)線速度，根據(jù)E=BLv，求出導(dǎo)線ab和cd因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而寫出瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）線圈平面處于與中性面成φ₀夾角位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，則在（1）中的瞬時(shí)表達(dá)式中加個(gè)相位即可；
（3）先求出平均電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求出平均電流，根據(jù)W=I²RT即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)線框abcd在磁場(chǎng)中繞OO'軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，ab和cd切割磁感線．當(dāng)線框平面與中性面垂直時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大．
E_ab=E_cd=NBL₁v
v=ω$\frac{{L}_{2}}{2}$
所以：E_m=E_ab+E_cd=NBL₁L₂ω
（2）線框平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值的表達(dá)式為
e=E_m sinωt=NBL₁L₂ωsinωt
（3）電流的有效值$I=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}（R+r）}$
轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)間T=$\frac{2π}{ω}$
外力驅(qū)動(dòng)線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功轉(zhuǎn)化為回路中的焦耳熱
W=I²（R+r）T
解得：W=$\frac{π{N}^{2}{{{B}^{2}L}_{1}^{2}L}_{2}^{2}}{R+r}$
答：（1）推導(dǎo)線框中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大值的表達(dá)式為NBL₁L₂ω；
（2）線框平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，寫出t時(shí)刻線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值的表達(dá)式e=NBL₁L₂ωsinωt；
（3）若線框電阻為r，求外力驅(qū)動(dòng)線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周所做的功為$\frac{π{N}^{2}{{{B}^{2}L}_{1}^{2}L}_{2}^{2}}{R+r}$．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)線圈與磁場(chǎng)相平行時(shí)，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大．求電荷量時(shí)，運(yùn)用交流電的平均值，求產(chǎn)生的熱能時(shí)，用交流電的有效值．