Question

20．如圖所示，豎直光滑半圓細(xì)管的半徑r=0.4m，與水平光滑軌道AB在B點(diǎn)平滑連接，半徑OC與豎直半徑OB的夾角為60°，質(zhì)量m=0.1kg小球（球的直徑略小于細(xì)管半徑），被彈簧槍水平發(fā)射后，沿水平軌道向左滑行，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度v_C=4m/s通過(guò)最高點(diǎn)后落于水平地面上，g取10m/s2．求：
（1）彈簧槍發(fā)射小物體前，彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；
（3）彈簧槍每次釋放的彈性勢(shì)能相同，調(diào)節(jié)半圓細(xì)管的半徑，當(dāng)細(xì)管半徑等于多少時(shí)，小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最大并計(jì)算最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求解；
（2）對(duì)C到最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒求得在最高點(diǎn)的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平距離；
（3）對(duì)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求得在最高點(diǎn)的表達(dá)式，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平位移表達(dá)式，進(jìn)而求得最大值．

解答 解：（1）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力、彈簧彈力做功，故對(duì)小球運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-mgr（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$；
所以，彈簧槍發(fā)射小物體前，彈簧的彈性勢(shì)能${E}_{p}=mgr（1-cosθ）+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=1J$；
（2）小球從C到最高點(diǎn)的過(guò)程作用重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgr（1+cosθ）+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，小球在最高點(diǎn)的速度$v=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}-2gr（1+cosθ）}=2m/s$；
小球從最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)到水平地面上，故有$2r=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離$x=vt=2v\sqrt{\frac{r}{g}}=0.8m$；
（3）小球從靜止到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程作用重力、支持力做功，由動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-2mgr′=\frac{1}{2}mv{′}^{2}$；
小球從最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)落到水平地面上，故有：$2r′=\frac{1}{2}g{t′}^{2}$，
小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離$x′=v′t′=\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}-4gr′}•\sqrt{\frac{4r′}{g}}$=$2\sqrt{\frac{2}{gm}（{E}_{p}r′-2mgr{′}^{2}）}$=$2\sqrt{\frac{2}{mg}[-（\sqrt{2mg}r′-\frac{{E}_{p}}{2\sqrt{2mg}}）^{2}+\frac{{{E}_{p}}^{2}}{8mg}]}$；
所以，當(dāng)細(xì)管半徑$r′=\frac{{E}_{p}}{4mg}$=$\frac{1}{4}m$時(shí)，小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最大，最大值$x{′}_{max}=\frac{{E}_{p}}{mg}$=1m；
答：（1）彈簧槍發(fā)射小物體前，彈簧的彈性勢(shì)能為1J；
（2）小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為0.8m；
（3）彈簧槍每次釋放的彈性勢(shì)能相同，調(diào)節(jié)半圓細(xì)管的半徑，當(dāng)細(xì)管半徑等于$\frac{1}{4}m$時(shí)，小球落地點(diǎn)到B點(diǎn)的距離最大且最大值為1m．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．