Question

4．如圖所示，一弧形軌道與光滑水平軌道平滑連接，水平軌道的末端靜止著一質(zhì)量為2m的小球b．從弧形軌道的某處由靜止釋放另一質(zhì)量為m的小球a，a球沿軌道下滑后與b球發(fā)生彈性正碰，碰后b球以某一速度水平拋出，恰好從光滑圓弧ABC的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧（不計(jì)空氣阻力，進(jìn)入圓弧時(shí)無機(jī)械能損失）．已知光滑平臺(tái)離A的豎直高度為h，圓弧的半徑為R，OA與豎直方向的夾角為θ，小球均可視為質(zhì)點(diǎn)（重力加速度為g），求：
（1）b球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A；
（2）a球與b球碰撞前、后的瞬時(shí)速度；
（3）若b球能夠通過圓弧的最高點(diǎn)，則到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，結(jié)合速度偏向角公式，即可求出小球b在A點(diǎn)的速度；
（2）利用b球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A結(jié)合動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒，即可求出a球與b球碰撞前、后的瞬時(shí)速度；
（3）從A到C對(duì)小球b運(yùn)用動(dòng)能定理，對(duì)C點(diǎn)小球進(jìn)行受力分析，再結(jié)合牛頓第二定律，即可求出小球b通過圓弧的最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）設(shè)b球平拋的初速度為v₀，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)速度規(guī)律可得：
v_x=v₀①
v_y=gt ②
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$③
速度偏向角公式有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$④
聯(lián)立①②③④可得：v_x=$\frac{\sqrt{2gh}}{tanθ}$ ⑤，v_y=$\sqrt{2gh}$⑥
b球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度：v_A=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦式可得：v_A=$\sqrt{2gh（\frac{1}{ta{n}^{2}θ}+1）}$⑧
（2）ab兩球碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得：mv₁=2mv₀+mv₂⑨
根據(jù)能量守恒可得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}•2m{v}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}$⑩
聯(lián)立⑨⑩式可得，a球與b球碰撞前速度：v₁=$\frac{3\sqrt{2gh}}{2tanθ}$
a球與b球碰撞后速度：v₂=$-\frac{\sqrt{2gh}}{2tanθ}$
（3）對(duì)b球從A到C點(diǎn)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理可得：-2mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}•2m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{v}_{A}^{2}$⑪
C點(diǎn)對(duì)b球運(yùn)用牛頓第二定律可得：N+2mg=2m•$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$⑫
根據(jù)牛頓第三定律可得，C時(shí)小球b對(duì)軌道的壓力：N′=N⑬
聯(lián)立⑪⑫⑬式可得：N′=mg（$\frac{4h}{Rta{n}^{2}θ}$+$\frac{4h}{R}$-4cosθ-6）
答：（1）b球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A為$\sqrt{2gh（\frac{1}{ta{n}^{2}θ}+1）}$；
（2）a球與b球碰撞前的瞬時(shí)速度大小為$\frac{3\sqrt{2gh}}{2tanθ}$，方向水平向右，a球與b球碰撞前的瞬時(shí)速度大小為$\frac{3\sqrt{2gh}}{2tanθ}$，方向水平向左；
（3）若b球能夠通過圓弧的最高點(diǎn)，則到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)軌道的壓力為mg（$\frac{4h}{Rta{n}^{2}θ}$+$\frac{4h}{R}$-4cosθ-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理動(dòng)量守恒定律的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是要分好過程，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，選擇合適的規(guī)律解題；要求大家牢記平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，以及彈性碰撞過程所滿足的動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒．