Question

20．如圖所示，一個(gè)半徑為R的$\frac{1}{4}$透明球體放置在水平面上，一束藍(lán)光從A點(diǎn)沿水平方向射入球體后經(jīng)B點(diǎn)射出，最后射到水平面上的C點(diǎn)．已知OA=$\frac{R}{2}$，該球體對(duì)藍(lán)光的折射率為$\sqrt{3}$．若將該束光的入射點(diǎn)從A點(diǎn)向上移動(dòng)到離0的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R處的A₁處，仍沿水平方向射入球體后最終射在水平面上的C₁處，求CC₁的距離是多少？

Answer 1

分析 光線在B點(diǎn)折射時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系求出入射角，通過(guò)折射定律求出折射角β．光束向上平移時(shí)，光線在圓弧面上的入射角增大，當(dāng)入射角增大到等于臨界角時(shí)光線將發(fā)生全反射，反射后最終射在水平面上的C₁處．由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再由幾何知識(shí)求解CC₁的距離．

解答 解：設(shè)從B點(diǎn)出射時(shí)的出射角為β，∠ABO=α
由sinα=$\frac{1}{2}$，得 α=30°
由n=$\frac{sinβ}{sinα}$，得 β=60°
過(guò)B點(diǎn)做OC的垂線，垂足為D，由幾何關(guān)系得：
∠BCD=β-α=30°
所以 CD=$\frac{R}{2tan∠BCD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
光速?gòu)腁₁處沿水平方向射入球體，入射角為θ，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
發(fā)生全反射的臨界角為 sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
顯然 θ＞C，所以該束光到達(dá)半圓界面時(shí)要發(fā)生全反射，反射角等于45°，即垂直射在水平面上的C₁點(diǎn)，則有：OC₁=Rsin45°，OD=Rcosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
因此 $C{C_1}=OD+CD-O{C_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R+\frac{{\sqrt{3}}}{2}R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R=\sqrt{3}R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
答：CC₁的距離是$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題要熟練掌握光的折射定律和全反射條件，結(jié)合幾何知識(shí)，即可研究這類問(wèn)題．