Question

5．如圖甲所示，兩組平行正對(duì)金屬薄板AB和CD，CD的左端緊靠B板．B與C、A與D分別連接后，接上如圖乙所示規(guī)律變化的電壓，忽略極板正對(duì)部分之外的電場(chǎng)．位于A板中心P處的粒子源可以產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，粒子的重力和初速度均可忽略不計(jì)．已知t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子，恰好在t=2T₀時(shí)刻從B板中心的小孔Q處穿過(guò)，并在t=3T₀時(shí)刻從CD板的右端射出．求：

（1）AB板間的距離；
（2）C或D板的長(zhǎng)度；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度，比t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大還是小？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在0～T₀時(shí)間內(nèi)，A、B板間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子運(yùn)動(dòng)的位移．在T₀～2T₀時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合速度求得粒子前進(jìn)的距離，從而求得AB板間的距離．
（2）在2T₀～3T₀時(shí)間內(nèi)，粒子在C、D板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，C或D板的長(zhǎng)度等于水平分位移大小，由位移公式求解．
（3）分析t=$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子在A、B板間的運(yùn)動(dòng)情況，由位移公式和速度結(jié)合求得到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度．

解答 解：（1）在0～T₀時(shí)間內(nèi)，A、B板間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
   qE=ma  ①
而$E=\frac{U_0}uy40zlt$ ②
位移為 ${x_1}=\frac{1}{2}aT_0^2$  ③
在T₀～2T₀時(shí)間內(nèi)，粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，則有  x₂=aT₀•T₀ ④
而x₁+x₂=d ⑤
整理得，AB板間的距離為  $d=\sqrt{\frac{{3q{U_0}}}{2m}}{T_0}$  ⑥
（2）粒子在C、D板間運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿平行于極板方向做勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 v₁=aT₀ ⑦
則C或D板的長(zhǎng)度  L=v₁T₀ ⑧
整理得  $L=\sqrt{\frac{{2q{U_0}}}{3m}}{T_0}$ ⑨
（3）$t=\frac{T_0}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度，比t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大．                                           
方法一：
由（2）知，t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度 v₁=aT₀ ⑩
$t=\frac{T_0}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子先加速$\frac{T_0}{2}$，再勻速運(yùn)動(dòng)T₀，設(shè)又加速時(shí)間t到達(dá)Q，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
  $\frac{1}{2}a{（\frac{T_0}{2}）^2}+a（\frac{T_0}{2}）{T_0}+a\frac{T_0}{2}•t+\frac{1}{2}a{t^2}=d$⑪
整理得 $t=\frac{{\sqrt{8}-1}}{2}{T_0}$⑫
因?yàn)閠＜T₀，所以此解符合題設(shè)條件．
此時(shí)粒子的速度大小 ${v_2}=a（\frac{T_0}{2}+t）=\sqrt{2}a{T_0}$⑬
所以v₂＞v₁
方法二：
兩種情況下粒子運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖
t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子，在t=2T₀時(shí)刻到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度v₁=aT₀，v-t圖象與t軸圍成的“面積”即為A、B板間距離d．        
$t=\frac{T_0}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子在$t=2{T_0}+\frac{T_0}{2}$時(shí)刻的速度為aT₀，但此時(shí)間內(nèi) v-t圖象與t軸圍成的“面積”小于第一種情況0-2T₀時(shí)間內(nèi)的“面積”，所以此時(shí)粒子還未到達(dá)Q點(diǎn)，仍繼續(xù)加速．故到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)速度一定大于aT₀．
答：
（1）AB板間的距離是$\sqrt{\frac{3q{U}_{0}}{2m}}{T}_{0}$；
（2）C或D板的長(zhǎng)度是$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{3m}}{T}_{0}$；
（3）t=$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度比t=0時(shí)刻產(chǎn)生的粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大．

點(diǎn)評(píng) 本題中帶電粒子在周期性電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法進(jìn)行研究．