Question

7．兩個相同的鐵球，質(zhì)量均為m，由原長為L₀，勁度系數(shù)為k的彈簧連接，設(shè)法維持彈簧在原長位置，由靜止釋放兩球（兩球連線豎直）．設(shè)開始時下面鐵球距離桌面的高度為h，而且下面鐵球與桌面的碰撞為完全非彈性的碰撞，彈簧的彈性勢能為E_p=$\frac{1}{2}$kx²，期中x為彈簧的形變量．
（1）求彈簧的最大壓縮量x．
（2）如果使鐵球放在光滑水平面上繞過質(zhì)心的豎直軸轉(zhuǎn)動，此時彈簧長度變?yōu)長，求轉(zhuǎn)動的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）先對兩球及彈簧整體，由機械能守恒定律求出鐵球剛碰撞桌面時的速度，下面鐵球撞到桌面后速度立即變?yōu)榱�，上面鐵球與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，由機械能守恒定律求彈簧的最大壓縮量x．
（2）根據(jù)胡克定律和向心力公式列式求解角速度．

解答 解：（1）設(shè)下面鐵球與桌面的碰撞前瞬間的速度為v．
對兩球及彈簧整體，由機械能守恒得：
  2mgh=$\frac{1}{2}×$2mv²；
解得 v=$\sqrt{2gh}$
對上面鐵球與彈簧組成的系統(tǒng)，由機械能守恒得：
  $\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgx=$\frac{1}{2}$kx²，
解得 x=$\frac{mg+\sqrt{{m}^{2}{g}^{2}+2kmgh}}{k}$
（2）對任一球，由牛頓第二定律得
  k（L-L₀）=mω²•$\frac{L}{2}$
解得ω=$\sqrt{\frac{2k（L-{L}_{0}）}{mL}}$
答：
（1）彈簧的最大壓縮量x是$\frac{mg+\sqrt{{m}^{2}{g}^{2}+2kmgh}}{k}$．
（2）轉(zhuǎn)動的角速度ω是$\sqrt{\frac{2k（L-{L}_{0}）}{mL}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道能量是如何轉(zhuǎn)化和小球做圓周運動向心力的來源，注意第2小題中小球轉(zhuǎn)動的半徑等于彈簧長度的一半．