Question

3．1932年美國物理學(xué)家勞倫斯發(fā)明了回旋加速器，巧妙地利用帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，解決了粒子的加速問題．現(xiàn)在回旋加速器被廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和醫(yī)學(xué)設(shè)備中．

某型號(hào)的回旋加速器的工作原理如圖甲所示，圖乙為俯視圖．回旋加速器的核心部分為D形盒，D形盒裝在真空容器中，整個(gè)裝置放在電磁鐵兩極之間的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)可以認(rèn)為是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且與D形盒盒面垂直．兩盒間狹縫很小，帶電粒子穿過的時(shí)間可以忽略不計(jì)．質(zhì)子從粒子源A處進(jìn)入加速電場(chǎng)的初速度不計(jì)，從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間為t．已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)子質(zhì)量為m、電荷量為+q，加速器接一定頻率高頻交流電源，其電壓為U．不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．求：
（1）質(zhì)子第1次經(jīng)過狹縫被加速后進(jìn)入D形盒運(yùn)動(dòng)軌道的半徑r₁；
（2）D形盒半徑為R；
（3）試推理說明：質(zhì)子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道半徑之差△r是增大、減小還是不變？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第一次加速后進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力，列式求出質(zhì)子在磁場(chǎng)中的軌道半徑．
（2）設(shè)質(zhì)子從靜止開始加速到出口處運(yùn)動(dòng)了n圈，質(zhì)子在出口處的速度為v．根據(jù)動(dòng)能定理、牛頓第二定律和周期和時(shí)間關(guān)系結(jié)合求解．
（3）求出r_k所對(duì)應(yīng)的加速次數(shù)和r_k+1所對(duì)應(yīng)的加速次數(shù)即可求出它們所對(duì)應(yīng)的軌道半徑，然后作差即可求出r_k和r_k+1，從而求出△r_k，運(yùn)用同樣的方法求出△r_k+1，比較△r_k和△r_k+1即可得出答案．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)子第1次經(jīng)過狹縫被加速后的速度為v₁
由動(dòng)能定理得 $qU=\frac{1}{2}mv_1^2$…①
由牛頓第二定律有 $q{v_1}B=m\frac{v_1^2}{r_1}$…②
聯(lián)立①②解得：${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（2）設(shè)質(zhì)子從靜止開始加速到出口處運(yùn)動(dòng)了n圈，質(zhì)子在出口處的速度為v，則
  $2nqU=\frac{1}{2}m{v^2}$…③
  $qvB=m\frac{v^2}{R}$…④
質(zhì)子圓周運(yùn)動(dòng)的周期 $T=\frac{2πm}{qB}$…⑤
質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間 t=nT…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥解得  $R=\sqrt{\frac{2Ut}{πB}}$
（3）（方法1）設(shè)k為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U，由動(dòng)能定理知$2qU=\frac{1}{2}mv_{k+1}^2-\frac{1}{2}mv_k^2$…⑦
由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，知${r_k}=\frac{{m{v_k}}}{qB}$，則$2qU=\frac{{{q^2}{B^2}}}{2m}（r_{k+1}^2-r_k^2）$⑧
整理得 $△{r_k}=\frac{4mU}{{q{B^2}（{r_{k+1}}+{r_k}）}}$…⑨
相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理 $△{r_{k+1}}=\frac{4mU}{{q{B^2}（{r_{k+2}}+{r_{k+1}}）}}$
因U、q、m、B均為定值，且因?yàn)閞_k+2＞r_k，比較△r_k與△r_k+1得△r_k+1＜△r_k．
（方法2）設(shè)k為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k-1、r_k、r_k+1，（r_k-1＜r_k＜r_k+1）．
由$2kqU=\frac{1}{2}m{v_k}^2$ 及 $q{v_k}B=m\frac{v_k^2}{r_k}$ 得 ${r_k}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}\sqrt{k}$
得$△{r_k}_{-1}={r_k}-{r_{k-1}}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$$△{r_k}={r_{k+1}}-{r_k}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$
假設(shè)$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$＞$（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$有$2\sqrt{k}＞\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}$
兩邊平方得$k＞\sqrt{{k^2}-1}$結(jié)果正確，說明假設(shè)成立．
所以△r_k-1＞△r_k．
答：（1）質(zhì)子第1次經(jīng)過狹縫被加速后進(jìn)入D形盒運(yùn)動(dòng)軌道的半徑r₁是$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（2）D形盒半徑為R是$\sqrt{\frac{2Ut}{πB}}$．
（3）隨軌道半徑r的增大，同一盒中相鄰軌道的半徑之差△r減�。�

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)是（3），要求△r_k需要知道r_k和r_k+1，同理算出△r_k+1，對(duì)△r_k和△r_k+1，即可得出答案．