Question

17．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系，在y軸的右側(cè)存在無限大的、場(chǎng)強(qiáng)大小為E、水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在y軸的左側(cè)同時(shí)存在一個(gè)垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、水平寬度為a的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ．有一不計(jì)重力、帶正電、比荷為$\frac{q}{m}$的粒子由+x軸上某一位置無初速度釋放．
（1）若其恰好經(jīng)過磁場(chǎng)Ⅰ左邊界上P點(diǎn)（-a，$\frac{a}{2}$），求粒子射出磁場(chǎng)Ⅰ的速度v₁的大�。�
（2）若其恰好經(jīng)過y軸上的Q點(diǎn)（0，$\frac{a}{2}$），求粒子從釋放開始第一次到達(dá)Q所用的時(shí)間；
（3）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ左側(cè)同時(shí)存在一個(gè)垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B的無限大勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，要使粒子第二次沿+x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)恰經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)（0，-4a），試求其在+x軸上無初速度釋放時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）先求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，二者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到Q點(diǎn)所用時(shí)間．
（3）要使粒子第二次沿+x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)恰經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)（0，-4a），畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求出半徑，然后由動(dòng)能定理與牛頓第二定律即可求出．

解答 解：（1）如右圖所示，由幾何關(guān)系可知${r_1}^2={a^2}+{（{r_1}-\frac{a}{2}）^2}$

可知粒子在磁場(chǎng)中的軌跡半徑${r_1}=\frac{5}{4}a$
由牛頓第二定律得：$Bq{v_1}=m\frac{v_1^2}{r_1}$
射出磁場(chǎng)的速度${v_1}=\frac{5Bqa}{4m}$
（2）粒子從釋放開始到第一次到達(dá)Q點(diǎn)，可能軌跡如右圖所示，

由幾何關(guān)系可知：$n•2{r_2}=\frac{a}{2}$，其中n=1，2，3，…
${r_2}=\frac{a}{4n}$
粒子在磁場(chǎng)中${r_2}=\frac{{m{v_2}}}{qB}$，$T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)${v_2}=\frac{Eq}{m}{t_1}$，
解得${t_1}=\frac{Ba}{4nE}$
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過一個(gè)半圓的時(shí)間為$\frac{T}{2}$
從釋放開始一直第一次到達(dá)Q所用的時(shí)間$t=（2n-1）{t_1}+n\frac{T}{2}$
解得$t=n\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$其中n=1，2，3，…
（3）要使粒子第二次沿+x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)恰經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)（0，-4a），軌跡如右圖．

如右圖所示，在△O₁O₂D中  O₁O₂=2r₃，O₂D=2a，O₁D=r₃+a
由幾何關(guān)系可知${（2{r_3}）^2}={（2a）^2}+{（{r_3}+a）^2}$  
解得${r_3}=\frac{5}{3}a$
又$Bq{v_3}=m\frac{v_3^2}{r_3}$，粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)$Eqx=\frac{1}{2}mv_3^2-0$
在+x軸上無初速度釋放時(shí)的位置坐標(biāo)$x=\frac{{25q{B^2}{a^2}}}{18mE}$
答：（1）若其恰好經(jīng)過磁場(chǎng)Ⅰ左邊界上P點(diǎn)（-a，$\frac{a}{2}$），粒子射出磁場(chǎng)Ⅰ的速度v₁的大小是$\frac{5Bqa}{4m}$；
（2）若其恰好經(jīng)過y軸上的Q點(diǎn)（$\frac{a}{2}$，0），粒子從釋放開始第一次到達(dá)Q所用的時(shí)間是$n\frac{πm}{Bq}+\frac{（2n-1）Ba}{4nE}$其中n=1，2，3，…；
（3）其在+x軸上無初速度釋放時(shí)的位置坐標(biāo)是$\frac{25q{B}^{2}{a}^{2}}{18mE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)求解軌跡半徑．