Question

2．如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上的P點(diǎn)，沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)Q，斜面的傾角為θ，已知該星球半徑為R，不考慮其他可能存在的阻力，萬(wàn)有引力常量為G．求該星球的密度和該星球上的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出星球表面的重力加速度．再根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，結(jié)合密度的公式求出星球的密度．
（2）第一宇宙速度的大小等于貼近星球表面運(yùn)行的速度．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大�。�

解答 解：物體落在斜面上有：$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$
所以g=$\frac{2{v}_{0}tanα}{t}$．
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}tanα}{Gt}$．
而V=$\frac{4}{3}π{R}^{2}$．
則密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
則v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$
答：該星球的密度為$\frac{3{v}_{0}tanα}{2πRtG}$，該星球上的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtanα}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．