Question

10．豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平滑道AB與光滑的四分之一圓弧滑道CD組成，AB恰與圓弧CD在C點相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示．一個質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點）從軌道的A端以初動能E沖上水平滑道AB，沿著軌道運動，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中點．已知水平滑道AB長為L，軌道ABCD的質(zhì)量為3m．求：
（1）小物塊在水平滑道上受到的摩擦力的大�。�
（2）為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是多大？
（3）若增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達到的最大高度是1.5R，試分析小物塊最終能否停在滑道上？

Answer 1

分析 （1）物塊沖上滑道AB后的運動過程中，系統(tǒng)水平方向不受外力，動量守恒，物塊最終與滑道的速度相同，由動量守恒定律求最終速度，系統(tǒng)的動能損失等于克服摩擦做功，根據(jù)功能關系求摩擦力的大小；
（2）若小物塊剛好到達D處，此時它與軌道有共同的速度，此速度與上題最終速度相等，根據(jù)整個過程功能關系列式求解；
（3）應用動能定理分析物塊是否能滑離軌道．

解答 解：（1）小物塊沖上軌道的初速度設為v₀，
E=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
最終停在AB的中點，跟軌道有相同的速度，設為v，
在這個過程中，系統(tǒng)動量守恒，以初速度方向為正，有mv₀=（m+M）V
v=$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
系統(tǒng)的動能損失用于克服摩擦做功，有
△E=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}×（m+3m）{v}^{2}$=$\frac{3}{2}fL$
解得摩擦力 f=$\frac{E}{2L}$
（2）若小物塊剛好到達D處，此時它與軌道有共同的速度（與v相等），在此過程中系統(tǒng)總動能減少轉化內(nèi)能（克服摩擦做功）和物塊的重力勢能，同理，有
△E₁=-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}×（m+3m）{v}^{2}$=fL+mgR
解得要使物塊不從D點離開滑道，CD圓弧半徑至少為R=$\frac{E}{4mg}$．
（3）從A到最高點的過程中，由動能定理得：-μmgL-mg×1.5R=-E′，解得：E′=$\frac{7}{8}E$，物塊滑回C點時的動能為E_C=1.5mgR=$\frac{3}{8}E$，由于E_C＜μmgL=$\frac{E}{2}$，故物塊將停在滑道上，不會滑離滑道．
答：（1）小物塊在水平滑道上受到的摩擦力的大小為$\frac{E}{2L}$；
（2）為了保證小物塊不從滑道的D端離開滑道，圓弧滑道的半徑R至少是$\frac{E}{4mg}$；
（3）若增大小物塊的初動能，使得小物塊沖上軌道后可以達到的最大高度是1.5R，物塊將停在滑道上，不會滑離滑道．

點評 本題是系統(tǒng)水平方向動量守恒和能量守恒的類型，關鍵要抓住臨界條件，結合兩大守恒定律進行分析．