Question

20．如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在垂直平面向外大小為2.0×10^-3T的勻強磁場，在坐標原點O放一粒子源，已知粒子源能向外發(fā)射質(zhì)量m=6.4×10^-27kg、速度=4.0×10⁴m/s、帶電量q=3.2×10^-19C的正粒子（不計粒子重力）．
（1）若粒子源能在xOy平面內(nèi)向各個不同的方向同時不斷的發(fā)射帶電粒子（不考慮粒子間相互作用力），求帶電粒子所能到達區(qū)域的面積；
（2）若粒子源發(fā)射的某個帶電粒子能經(jīng)過坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{5}$）的A點，求此粒子可能的發(fā)射方向；
（3）若在xOy平面內(nèi)以O為圓心，r=0.4m為半徑做個圓，讓從粒子源先后發(fā)射的兩帶電粒子同時經(jīng)過圓上的同一點，求兩粒子的最小發(fā)射時間隔△t_min．

Answer 1

分析 （1）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌跡半徑R，帶電粒子所能到達的區(qū)域是以O為圓心、2R為半徑的圓．
（2）根據(jù)幾何關系可確定出粒子可能的發(fā)射方向．
（3）由幾何關系可得：一個粒子所做圓周運動對應的圓心角為 θ₁=2nπ+$\frac{π}{3}$，另一個粒子所做圓周運動對應的圓心角為 θ₂=2mπ+$\frac{5π}{3}$，（m，n=0，1，2，…），由數(shù)學知識分析并求出最小的時間間隔．

解答 解：（1）粒子進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，得
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
帶電粒子所能到達的區(qū)域是以O為圓心、2R為半徑的圓，面積為 S=π（2R）²=4πR²  ②
由①②式代入數(shù)據(jù)解得 S=$\frac{16}{15}π$ m²．③
（2）如圖所示，粒子若能打到A點，則由幾何關系可確定v₀的方向在第一象限與x軸正方向成75°角，或者在第三象限與x軸負方向成15°角．④
（3）不管打在圓上的哪一點，由幾何關系可得：必定一個粒子軌跡圓弧對應的圓心角為 θ₁=2nπ+$\frac{π}{3}$，（n=0，1，2，…）．④
另一個粒子軌跡圓弧對應的圓心角為 θ₂=2mπ+$\frac{5π}{3}$，（m=0，1，2，…） ⑤
則 t₁=nT+$\frac{T}{6}$  ⑥
   t₂=mT+$\frac{5}{6}$T ⑦
又周期 T=$\frac{2πR}{v}$ ⑧
兩粒子發(fā)射時間的間隔△t=t₁-t₂； ⑨
當n-m=1時發(fā)射時間隔最小，為△t_min=$\frac{2}{3}π×1{0}^{-5}$s≈2.1×10^-5s （10）
答：
（1）帶電粒子所能到達區(qū)域的面積為$\frac{16}{15}π$ m²．
（2）此粒子可能的發(fā)射方向為在第一象限與x軸正方向成75°角，或者在第三象限與x軸負方向成15°角．
（3）兩粒子的最小發(fā)射時間隔△t_min為2.1×10^-5s．

點評 此題考查粒子在洛倫茲力作用下的勻速圓周運動，要掌握牛頓第二定律的應用，理解幾何關系與運動半徑聯(lián)系，掌握由周期與圓心角來確定運動的時間方法．