Question

【題目】有些知識(shí)我們可能沒有學(xué)過，但運(yùn)用我們已有的物理思想和科學(xué)方法，通過必要的分析和推理可以解決一些新的問題。例如簡諧運(yùn)動(dòng)是我們研究過的一種典型運(yùn)動(dòng)形式，它的一個(gè)特征是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)規(guī)律，呈現(xiàn)出周期性，其運(yùn)動(dòng)的周期，式中m為振動(dòng)物體的質(zhì)量，k為回復(fù)力與位移間的比例系數(shù)。

(1)試證明在小角度下，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)，并根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)周期的公式推導(dǎo)出單擺振動(dòng)頻率f的表達(dá)式（已知單擺的擺長為L、擺球質(zhì)量為m、當(dāng)?shù)刂亓�加速度�?/span>g）；

(2)在彈吉他時(shí)，當(dāng)撥動(dòng)琴弦時(shí)，琴弦會(huì)發(fā)生振動(dòng)，琴弦振動(dòng)的頻率f由琴弦的質(zhì)量m、長度L和張力F共同決定，假設(shè)琴弦振動(dòng)時(shí)，振幅很小，且琴弦的張力保持不變，

a．請(qǐng)通過分析，寫出琴弦振動(dòng)的頻率f與琴弦的質(zhì)量m、長度L和張力F的關(guān)系式；

b．現(xiàn)將此琴弦的長度裁剪為原來的一半，試求琴弦振動(dòng)的頻率將變?yōu)槎嗌伲?/span>

（注：嚴(yán)格的說，琴弦上的駐波會(huì)形成多種頻率的振動(dòng)的疊加。此題中我們不考慮其他駐波的影響，即只需關(guān)注琴弦上基波的頻率。不懂駐波的同學(xué)可以不用管這一條注釋，不影響解題）

(3)簡諧運(yùn)動(dòng)也具有一些其他特征，如簡諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關(guān)系就都可以表示為，其中為振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置時(shí)的瞬時(shí)速度，a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù)。我們?cè)�利用此式證明了雙彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)。

現(xiàn)在對(duì)一個(gè)LC振蕩電路，請(qǐng)證明電路中電容器極板上的電荷量隨時(shí)間的變化滿足簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（即電荷量與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)規(guī)律），并求出電磁振蕩頻率f的表達(dá)式。已知電感線圈中磁場(chǎng)能的表達(dá)式為，式中L為線圈的自感系數(shù)，I為線圈中電流的大��；電容器中電場(chǎng)能的表達(dá)式為。

Answer 1

【答案】(1)；(2)a．，b．；(3)，

【解析】

(1)對(duì)擺球受力分析如圖

單擺擺球的重力沿著切線方向的分力提供回復(fù)力，該力的大小為

F=mgsinθ

由于θ＜5°，故

故

方向總是指向平衡位置，故

F回=-kx

而常數(shù)，代入簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式，可得單擺的周期公式

單擺的振動(dòng)頻率為

聯(lián)立解得

(2)a．頻率f的單位是，質(zhì)量m的單位是kg，長度L的單位是m，彈撥力F的單位是

從單位方面分析只有組合才能得到頻率的單位。增加一個(gè)系數(shù)c可得公式

b．現(xiàn)將此琴弦的長度裁剪為原來的一半，有

可得

則有

(3)由簡諧振動(dòng)過程中的機(jī)械能守恒，有

整理可得

故常數(shù)為

由彈簧振子的振動(dòng)周期，結(jié)合可得

而LC振蕩電路的總能量包括電容器的電場(chǎng)能和電感線圈中的磁場(chǎng)能，其總能量是守恒的，有

整理可得

而電容器的電荷量代入可得

與類比可知，電荷量q類比為位移x，電流I類比為速度v，因電流關(guān)于時(shí)間成正弦函數(shù)規(guī)律，可推得電荷量隨時(shí)間的變化滿足簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，而常數(shù)為

根據(jù)彈簧振子的周期為

代入可知

由周期可知電磁振蕩的頻率公式為