Question

18．一人騎自行車由靜止開始上一長(zhǎng)L=200m斜坡，斜坡坡度為0.05（沿斜坡前進(jìn)100m，高度上升5m），自行車達(dá)到最大速度前做加速度a=1m/s²的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，達(dá)到最大速度后腳蹬踏板使大齒輪以n=$\frac{4}{π}$轉(zhuǎn)/秒的轉(zhuǎn)速勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，自行車勻速運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，由于騎行者體能下降，自行車距離坡頂50m處開始做勻減速運(yùn)動(dòng)，已知最后50m的平均速度只有之前平均速度的84%．此人質(zhì)量M=60kg，自行車質(zhì)量m=15kg，大齒輪直徑d₁=15cm，小齒輪直徑d₂=6cm，車輪直徑d₃=60cm．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，自行車受到大小恒為f=20N的摩擦阻力作用．取g=10m/s²，求：
（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自行車的最大速度v_m和到達(dá)坡頂時(shí)的速度v；
（2）從坡底到坡頂，此人做功的平均功率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)大齒輪的轉(zhuǎn)速求出角速度的大小，抓住大齒輪和小齒輪線速度相等求出小齒輪的角速度，結(jié)合小齒輪和后輪的角速度相等求出最大速度．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移，求出50m之前的平均速度，從而得出最后50m的平均速度，結(jié)合平均速度的推論求出到達(dá)坡頂?shù)乃俣龋?br />（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出全過(guò)程中人做功的大小，結(jié)合勻加速、勻速和勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求出人做功的平均功率．

解答 解：（1）以最大速度做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，大齒輪的角速度為：${ω}_{1}=2πn=2π×\frac{4}{π}=8rad/s$，
根據(jù)$\frac{1166611_{1}}{2}{ω}_{1}=\frac{6111116_{2}}{2}{ω}_{2}$得小齒輪的角速度為：${ω}_{2}=\frac{1161666_{1}}{1166166_{2}}{ω}_{1}=\frac{15}{6}×8=20rad/s$，
后輪的角速度與小齒輪的角速度相等，則自行車的最大速度為：${v}_{m}=\frac{1611166_{3}}{2}{ω}_{2}=\frac{0.6}{2}×20m/s=6m/s$
勻加速直線運(yùn)動(dòng)的位移為：${x}_{1}=\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2a}=\frac{36}{2}m=18m$，
勻速運(yùn)動(dòng)的位移為：x₂=200-18-50m=132m，
勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{6}{1}s=6s$，
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{{v}_{m}}=\frac{132}{6}s=22s$，
最后50m之前的平均速度為：$\overline{{v}_{1}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{2}}=\frac{150}{28}m/s$，
則最后50m內(nèi)的平均速度為：$\overline{{v}_{2}}=84%×\overline{{v}_{1}}=\frac{84}{100}×\frac{150}{28}m/s=4.5m/s$，
根據(jù)平均速度的推論知，$\overline{{v}_{2}}=\frac{v+{v}_{m}}{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=3m/s．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得：W-（M+m）gLsinθ-fL=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$-0，
代入數(shù)據(jù)解得：W=11837.5J，
最后50m勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{3}=\frac{{x}_{3}}{\overline{{v}_{2}}}=\frac{50}{4.5}s=11s$，
則從坡底到坡頂，此人做功的平均功率為：$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{11837.5}{6+22+11}W=303.5W$．
答：（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中自行車的最大速度為6m/s，到達(dá)坡頂時(shí)的速度為3m/s；
（2）從坡底到坡頂，此人做功的平均功率為303.5W．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道大齒輪和小齒輪邊緣上的線速度相等，小齒輪和后輪的角速度相等．