Question

12．如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧支架，支架底ab離地面距離4R，圓弧邊緣C處有一個小定滑輪，一輕繩兩端分別系著質量為m₁m₂的物體（可視為質點），掛在定滑輪兩邊，且m₁大于m₂，開始時兩物體均靜止．（不計一切摩擦）求：
（1）m₁經過最低點a時的速度．
（2）若m₁ 經過最低點時繩斷開，m₁ 落地點離a的水平距離為多少？
（3）為使 m₁ 能到達a點m₁與m₂之間必須滿足什么關系？

Answer 1

分析 （1）對兩球組成的整體，運用機械能守恒定律列式，并根據(jù)經過最低點a時兩球沿繩子方向的分速度大小相等，得到它們速度大小的關系，再進行求解；
（2）繩斷開后m₁做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律求m₁落地點離a點水平距離S；
（3）當m₁經過最低點a時的速度大于等于零時，m₁ 能到達a點，由上式結果分析．

解答 解：（1）如圖將m₁ 的運動分解，則v₂=v₁sin45°
m₁m₂ 組成的系統(tǒng)機械能守恒，則得：
  m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
解得：v₁=2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
（2）繩斷后m₁ 做平拋運動，平拋時間為：
t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=2$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
m₁ 落地點離a的水平距離為：S=v₁t=4R$\sqrt{\frac{2（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$
（3）為使 m₁ 能到達a點，必須有：v₁≥0
由v₁=2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$≥0 
可知當${m}_{1}≥\sqrt{2}{m}_{2}$時m₁可到達a點．
答：（1）m₁經過最低點a時的速度為2$\sqrt{\frac{（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）gR}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（2）若m₁ 經過最低點時繩斷開，m₁ 落地點離a的水平距離為4R$\sqrt{\frac{2（{m}_{1}-\sqrt{2}{m}_{2}）}{2{m}_{1}+{m}_{2}}}$．
（3）為使 m₁ 能到達a點m₁與m₂之間必須滿足的條件是${m}_{1}≥\sqrt{2}{m}_{2}$．

點評 本題根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒處理連接體問題，也可以根據(jù)動能定理求速度，抓住兩球沿繩子方向的分速度相等是解答的關鍵．