Question

4．如圖所示，足夠長的斜面傾角θ=30°，斜面底端A點(diǎn)與一半徑為R的光滑半圓軌道平滑連接，半圓軌道的直徑與地面垂直．已知小物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，重力加速度為g．
（1）若小物體在斜面上從與圓心O等高的位置由靜止釋放，則小物體第一次滑到A點(diǎn)所用的時(shí)間為多少？
（2）在（1）的情況下，小物體在斜面上滑行的總路程為多少？
（3）要使小物體能通過圓軌道最高點(diǎn)B，求小物體在斜面上由靜止釋放的高度．

Answer 1

分析 （1）物塊滑動(dòng)到B點(diǎn)過程中，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間．
（2）由于小物體在斜面上從與圓心O等高的位置由靜止釋放，所以物體在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的過程中不能脫離圓軌道，到達(dá)最高點(diǎn)后仍然沿原路返回，最后物塊的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系即可求出物體的總位移．
（3）要使小物體能通過圓軌道最高點(diǎn)B，在物體在最高點(diǎn)的向心力要大于等于重力，然后結(jié)合牛頓第二定律與機(jī)械能守恒即可正確解答．

解答 解：（1）物塊沿斜面下滑過程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)下滑加速度為a，到達(dá)斜面底端B時(shí)的時(shí)間為t，則：
mgsinθ-μmgcosθ=ma
則得：a=g（sinθ-μcosθ）=10×（sin30°-$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$×cos30°）=2.5（m/s²）
物體的位移：$L=\frac{R}{sin30°}=2R$
由$L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2×2R}{a}}=2\sqrt{\frac{2R}{5}}$
（2）由題意可知，最后物塊的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系得：μmgcosθS=mgR
整理得：S=4R
（3）要使小物體能通過圓軌道最高點(diǎn)B，在物體在最高點(diǎn)的向心力要大于等于重力，即：$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}≥mg$
從釋放到到達(dá)B的過程中，由機(jī)械能守恒得：$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}=mg2R+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立以上方程得：h=3R
答：（1）若小物體在斜面上從與圓心O等高的位置由靜止釋放，則小物體第一次滑到A點(diǎn)所用的時(shí)間為$2\sqrt{\frac{2R}{5}}$；
（2）小物體在斜面上滑行的總路程為4R；
（3）要使小物體能通過圓軌道最高點(diǎn)B，小物體在斜面上由靜止釋放的高度是3R．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵對物體的運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，然后運(yùn)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)和機(jī)械能守恒定律列式求解；同時(shí)要知道，能用機(jī)械能守恒定律解決的問題都能用動(dòng)能定理解決．