Question

7．如圖所示，水平軌道AB段粗糙，長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.2m，BC和半圓軌道均可視為光滑，在左端豎直墻上固定一輕質(zhì)彈簧，有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球質(zhì)量m=1kg，與軌道間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.6，現(xiàn)將小球壓縮輕質(zhì)彈簧至A點(diǎn)后由靜止釋放 （小球和彈簧不粘連），發(fā)現(xiàn)小球剛好能沿半圓軌道內(nèi)側(cè)滑下，C點(diǎn)為軌道的最高點(diǎn)，D點(diǎn)為軌道的最低點(diǎn)．小物塊離開D點(diǎn)后，做平拋運(yùn)動(dòng)，恰好垂直于傾斜擋板打在擋板跟水平面相交的E點(diǎn)．已知半圓軌道的半徑R=0.9m，D點(diǎn)距水平面的高度h=0.75m，取g=10m/s²，試求：
（1）壓縮的彈簧所具有的彈性勢(shì)能；
（2）小物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大小；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求的C點(diǎn)速度，從A到C由動(dòng)能定理即可求得；
（2）從C到D由動(dòng)能定理求的D點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓第二定律即可求得作用力；
（3）從D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求得

解答 解：（1）設(shè)小物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v₁，因?yàn)榻?jīng)過(guò)C時(shí)恰好能完成圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律可得：$mg=m\frac{v_1^2}{R}$，
解得v₁=3m/s
小物塊由A到C過(guò)程，由能量守恒得：Ep=μmgL+$\frac{1}{2}mv_1^2$，
解得壓縮的彈簧所具有的彈性勢(shì)能Ep=5.7J         
（2）設(shè)小物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，對(duì)由C點(diǎn)到D點(diǎn)的過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：$mg•2R=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
小物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，設(shè)軌道對(duì)它的支持力大小為F_N，
由牛頓第二定律得：${F_N}-mg=m\frac{v_2^2}{R}$
聯(lián)立解得F_N=60N，${v_2}=3\sqrt{5}m/s$
由牛頓第三定律可知，小物塊對(duì)軌道的壓力大小為：F′_N=F_N=60N
故小物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為60N；
（3）小物塊離開D點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t打在E點(diǎn)，由$h=\frac{1}{2}g{t^2}$得：$t=\frac{{\sqrt{15}}}{10}s$
設(shè)小物塊打在E點(diǎn)時(shí)速度的水平、豎直分量分別為v_x、v_y，速度跟豎直方向的夾角為α，
則：v_x=v₂、v_y=gt
  又$tanα=\frac{v_x}{v_y}=\sqrt{3}$
聯(lián)立解得α=60°
再由幾何關(guān)系可得θ=α=60°    
故傾斜擋板與水平面的夾角為θ為60°．
答：（1）壓縮的彈簧所具有的彈性勢(shì)能為5.7J         
（2）小物塊經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力的大小為60N；
（3）傾斜擋板與水平面間的夾角θ為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多過(guò)程運(yùn)用問(wèn)題，關(guān)鍵理清物塊在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合動(dòng)能定理和能量守恒進(jìn)行求解．