Question

12．一衛(wèi)星在某行星表面附近繞其做勻速圓周運動，其線速度大小為v；站在該行星表面上的宇 航員用彈簧秤懸掛一質(zhì)量為m的物體，靜止時彈簧秤的示數(shù)為F．已知萬有引力常量為G，下列說法正確的是（　　）

• A． 該行星的質(zhì)量為$\frac{m{v}^{2}}{GF}$
• B． 該行星的質(zhì)量為$\frac{m{v}^{4}}{G{F}^{2}}$
• C． 該行星的密度為$\frac{3{F}^{2}}{4πG{m}^{2}{v}^{2}}$
• D． 該行星的密度為$\frac{4π{F}^{2}}{3G{m}^{2}{v}^{2}}$

Answer 1

分析 先求出該星球表面重力加速度，根據(jù)萬有引力提供向心力公式即可求解

解答 解：AB、重力為G=mg
所以g=$\frac{G}{m}$=$\frac{F}{m}$
根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mg$
解得：M=$\frac{m{{v}_{\;}}^{4}}{GF}$
故AB均錯誤．
CD、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mg$可得行星的半徑R=$\frac{m{{v}_{\;}}^{2}}{F}$
根據(jù)密度的定義$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{m{{v}_{\;}}^{4}}{GF}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{\frac{m{{v}_{\;}}^{4}}{GF}}{\frac{4}{3}π{（\frac{m{{v}_{\;}}^{2}}{F}）}^{3}}$=$\frac{3{F}^{2}}{4πG{m}^{2}{v}^{2}}$
故C正確、D錯誤．
故選：C．

點評 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面宏觀物體運動和天體運動的橋梁．