Question

15．如圖所示，光滑的水平圓盤(pán)中心O處有一個(gè)光滑小孔，用細(xì)繩穿過(guò)小孔，繩兩端各系一個(gè)小球A和B，圓盤(pán)上的A球隨圓盤(pán)一起在水平面內(nèi)做半徑為r=10cm的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使B球保持靜止?fàn)顟B(tài)，（g=10m/s²）求：
（1）若B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的4倍，A球的線速度應(yīng)是多大；
（2）若A、B兩球質(zhì)量相等且水平圓盤(pán)表面粗糙，A與水平圓盤(pán)的最大靜摩擦力為A球重量的0.2倍，求圓盤(pán)的角速度取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)B球受力分析，B處于平衡求得繩中拉力，再分析A球，繩對(duì)A的拉力提供A球圓周運(yùn)動(dòng)向心力，由此求得A的線速度大�。�
（2）A與圓盤(pán)一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)最大靜摩擦力與繩拉力方向相同時(shí)，向心力最大求得此時(shí)最大角速度，若最大靜摩擦力與繩拉力方向相反時(shí)，此時(shí)向心力最小，由此求得最小角速度即得角速度的取值范圍．

解答 解：（1）令A(yù)球的質(zhì)量為m，則B球質(zhì)量為4m，以B為研究對(duì)象知B處于平衡狀態(tài)，對(duì)B分析可得，繩對(duì)B的拉力T=4mg，
因?yàn)槭峭�一根繩，故繩對(duì)A的球的拉力亦為T(mén)′=4mg，
對(duì)A球分析可知，重力與支持力平衡，小球所受重力和支持力平衡，繩的拉力提供A球圓周運(yùn)動(dòng)向心力，故有：
$T′=m\frac{{v}^{2}}{r}$
所以A球的線速度$v=\sqrt{\frac{rT′}{m}}=\sqrt{\frac{0.1×4m×10}{m}}m/s=2m/s$；
（2）當(dāng)AB兩球質(zhì)量相等時(shí)有繩對(duì)A球的拉力T″=mg，當(dāng)A所受最大靜摩擦力與繩拉力一定時(shí)，球A有最大角速度，據(jù)合力提供向心力有：
$T″+μmg=mr{ω}_{max}^{2}$
得A的最大角速度${ω}_{max}=\sqrt{\frac{T″+μmg}{mr}}=\sqrt{\frac{mg+0.2mg}{0.1m}}=\sqrt{120}rad/s$
同理，當(dāng)A球所受最大靜摩擦力與繩的拉力方向相反時(shí)，球A有最小角速度，據(jù)合力提供向心力有：
$T″-μmg=mr{ω}_{min}^{2}$
得A球的最小角速度${ω}_{min}=\sqrt{\frac{T″-μmg}{mr}}=\sqrt{\frac{mg-0.2mg}{0.1m}}=\sqrt{80}rad/s$
所以保持B球靜止，A球角速度的取值范圍為：
$\sqrt{80}rad/s≤ω≤\sqrt{120}rad/s$
答：（1）若B球的質(zhì)量是A球質(zhì)量的4倍，A球的線速度應(yīng)是2m/s；
（2）若A、B兩球質(zhì)量相等且水平圓盤(pán)表面粗糙，A與水平圓盤(pán)的最大靜摩擦力為A球重量的0.2倍，圓盤(pán)的角速度取值范圍為$\sqrt{80}rad/s≤ω≤\sqrt{120}rad/s$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)B分析求得繩中拉力，再分析A球，由A球所受合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力分析A球的運(yùn)動(dòng)情況，掌握向心力的來(lái)源是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．