Question

16．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球用長為L的輕質(zhì)細(xì)線懸于O點，與O點處于同一水平線上的P點處有一個光滑的細(xì)釘，OP=$\frac{L}{2}$，在A點給小球一個水平向左的初速度，發(fā)現(xiàn)小球恰能到達(dá)跟P點在同一豎直線上的最高點B，已知重力加速度為g，（設(shè)小球在運(yùn)動過程中細(xì)線不會被拉斷）
（1）若不計空氣阻力，小球到達(dá)B點時的速率為多大？
（2）若不計空氣阻力，小球初速度v₀=2$\sqrt{gL}$，試判斷小球能否到達(dá)B點？若能到達(dá)，求在B點時細(xì)線受到小球的拉力的大��？
（3）若空氣阻力不能忽略，且給小球向左的初速度v₀′=3$\sqrt{gL}$時小球恰能到達(dá)B點，求這一過程中空氣阻力對小球所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能到達(dá)最高點B，根據(jù)重力提供圓周運(yùn)動向心力求得到達(dá)B時的速率大小；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得小球到達(dá)B點的速度，注意判定是否滿足到達(dá)B點的條件，再根據(jù)牛頓第二定律求得繩對小球的拉力大小；
（3）對整個過程，根據(jù)動能定理求得空氣阻力對小球所做的功．

解答 解：（1）小球恰好到達(dá)B點時滿足：
  mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
（2）設(shè)小球能從A運(yùn)動到B，由機(jī)械能守恒定律有：
 mg•$\frac{3L}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{{′}^{2}}$
解得：v_B′=$\sqrt{gL}$＞v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
所以小球能到達(dá)B點
在點B，對小球受力分析有：
  mg+T=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{\frac{L}{2}}$
代入可解得：T=mg
根據(jù)牛頓第三定律可知細(xì)線受到小球的拉力T′=T=mg
（3）設(shè)小球能從A運(yùn)動到B，由動能定理有：
-mg $•\frac{3}{2}L$+W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
代入數(shù)據(jù)可解得：W_f=-$\frac{11}{4}$mgL
答：
（1）小球到達(dá)B點時的速率為 $\sqrt{\frac{1}{2}gL}$．
（2）若初速度v₀=2$\sqrt{gL}$，小球能到達(dá)B點，在B點細(xì)線受到小球的拉力為mg；
（3）空氣阻力做的功為-$\frac{11}{4}$mgL．

點評 本題考查了牛頓第二定律和動能定理的綜合，知道恰好到達(dá)最高點的臨界情況，即拉力為零，重力提供向心力，明確空氣阻力是變力，運(yùn)用動能定理求阻力做功是常用的方法．