Question

9．如圖所示，質量為m的小球P自距離A點4R高處靜止下落，然后沿A點切線方向進入豎直平面內的光滑軌道ABC．AB是半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，BC是直徑為R的半圓弧軌道，B是軌道最低點，在B點有另一個質量也為m的靜止的小球Q．小球P和小球Q碰撞后粘在一起變成整體S，整體S繼續(xù)沿半圓軌道向上運動，求：
（1）小球P和小球Q碰撞時損失的機械能；
（2）整體S繼續(xù)沿半圓軌道向上運動到C點時對軌道的壓力；
（3）整體S離開C點后至撞上圓弧軌道的過程中下落的豎直高度．

Answer 1

分析 （1）由動能定理求得到達B點的速度，根據動量定理求得碰后的速度，根據能量守恒求得損失機械能；
（2）從B到C過程中機械能守恒，求得到達C點速度，由牛頓第二定律求得在C點作用力；
（3）從C點做平拋運動，由平拋運動的特點結合幾何關系即可求得

解答 解：（1）小球到達B點速度為v₀，從A到B由動能定理可得
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=5mgR$
解得${v}_{0}=\sqrt{10gR}$
碰撞過程由動量定理可得mv₀=2mv
v=$\frac{\sqrt{10gR}}{2}$
碰撞損失機械能為$△E=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{5}{2}mgR$
（2）S過程中機械能守恒$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}+2mgR$
解得${v}_{C}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
由N+2mg=$\frac{2m{•v}_{C}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得N=0
（3）S離開C做平拋運動，水平位移X=v_Ct
豎直位移為Y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
轉上圓弧由X²+Y²=R²
解得${t}^{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{g}R$或${t}^{2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{g}R$（舍去）
故Y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}g$
答：（1）小球P和小球Q碰撞時損失的機械能為$\frac{5}{2}mgR$；
（2）整體S繼續(xù)沿半圓軌道向上運動到C點時對軌道的壓力為0；
（3）整體S離開C點后至撞上圓弧軌道的過程中下落的豎直高度為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}g$

點評 本題考查了動量守恒、能量守恒定律、牛頓第二定律的綜合，涉及到平拋運動和圓周運動，綜合性較強，是一道好題