Question

10．如圖所示．半徑分別為a、b的兩同心虛線圓所圍空間分別存在電場和磁場，中心O處固定一個(gè)半徑很�。�可忽略不計(jì)）的金屬球，在小圓空間內(nèi)存在沿半徑向內(nèi)的輻向電場，小圓周與金屬球間電勢差U，兩圓之間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，設(shè)有一個(gè)帶負(fù)電的粒子從金屬球表面沿x軸正方向以很小的初速度逸出，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q．（不計(jì)粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度）試求：
（1）粒子到達(dá)小圓周上時(shí)的速度為多大？
（2）粒子以（1）中的速度進(jìn)入兩圓間的磁場中，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)超過某一臨界值時(shí)，粒子將不能到達(dá)大圓周，求此磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B．
（3）若當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度取（2）中最小值，且b=（$\sqrt{2}$+1）a時(shí)，粒子運(yùn)動一段時(shí)間后恰好能沿x軸負(fù)方向回到原出發(fā)點(diǎn)，求粒子從逸出到第一次回到原出發(fā)點(diǎn)的過程中，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間．（設(shè)粒子與金屬球正碰后電量不變且能以原速率原路返回）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理，通過末動能求出加速電壓的大�。�
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑的表達(dá)式，要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切．
（3）根據(jù)題目給定的條件，畫出帶電粒子運(yùn)動的軌跡，從而確定粒子在磁場中轉(zhuǎn)過φ=270°，然后沿半徑進(jìn)入電場減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場加速原路返回磁場，如此重復(fù)，恰好經(jīng)過4個(gè)回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，根據(jù)動能定理，得：
$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$，
所以   $v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）粒子進(jìn)入磁場后，受絡(luò)倫茲力做勻速圓周運(yùn)動，
有$qvB=m\frac{v^2}{r}$
要使粒子不能到達(dá)大圓周，其最大的圓半徑為軌跡圓與大圓周相切，如圖．

則有：$\sqrt{{a^2}+{r^2}}=b-r$
所以：$r=\frac{{{b^2}-{a^2}}}{2b}$
聯(lián)立解得：
 $B=\frac{2b}{{{b^2}-{a^2}}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（3）由圖可知，粒子在磁場中轉(zhuǎn)φ=270°，然后沿半徑進(jìn)入電場減速到達(dá)金屬球表面，再經(jīng)電場加速原路返回磁場，如此重復(fù)，恰好經(jīng)過4個(gè)回旋后，沿與原出射方向相反的方向回到原出發(fā)點(diǎn)．
因?yàn)?qvB=m\frac{v^2}{r}$，$T=\frac{2πr}{v}$
將B代入，得粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間為  $t=\frac{3π（^{2}-{a}^{2}）}{2b}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
答：（1）粒子到達(dá)小圓周上時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度超過某一臨界值時(shí)，粒子將不能到達(dá)大圓周，此最小值為$\frac{2b}{^{2}-{a}^{2}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）要粒子恰好第一次沿逸出方向的反方向回到原出發(fā)點(diǎn)，粒子需經(jīng)過4次回旋；粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為$\frac{3π（^{2}-{a}^{2}）}{2b}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點(diǎn)評 本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運(yùn)動的問題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．