Question

3．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，緊挨著的三個(gè)“柳葉”形有界區(qū)域①②③內(nèi)（含邊界上）有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，它們的邊界都是半徑為a的四分之一圓，每個(gè)四分之一圓的端點(diǎn)處的切線要么與x軸平行、要么與y軸平行．①區(qū)域的下端恰在O點(diǎn)，①②區(qū)域在A點(diǎn)平順連接、②③區(qū)域在C點(diǎn)平順連接．大量質(zhì)量均為m、電荷量為q的帶正電的粒子依次從坐標(biāo)原點(diǎn)O以相同的速率、各種不同的方式射入第一象限內(nèi)（含沿x軸、y軸方向），它們只要在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軌道半徑就都為a．在y≤-a的區(qū)域，存在場(chǎng)強(qiáng)為E的沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子重力、不計(jì)粒子之間的相互作用．
（1）粒子從O點(diǎn)出射時(shí)的速率v₀；
（2）這群粒子中，從O點(diǎn)射出至運(yùn)動(dòng)到x軸上的最長(zhǎng)時(shí)間；
（3）這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)的速率．
（2）從O沿+y軸方向射入磁場(chǎng)的粒子，從O到C耗時(shí)最長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)和速度求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（3）這些粒子經(jīng)過(guò)①區(qū)域偏轉(zhuǎn)后方向都變成與+x軸平行，接著勻速直線進(jìn)入②區(qū)域，經(jīng)過(guò)Ⅱ區(qū)域偏轉(zhuǎn)又都通過(guò)C點(diǎn)．從C點(diǎn)進(jìn)入③區(qū)域，經(jīng)過(guò)③區(qū)域偏轉(zhuǎn)，離開(kāi)Ⅲ區(qū)域時(shí)，所有粒子都變成與-y軸平行（即垂直進(jìn)入電場(chǎng)），分別求出x=2a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子和x=3a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子到達(dá)y軸的坐標(biāo)，從而得出這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律的：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，由題意可知：r=a，解得：v₀=$\frac{qBa}{m}$；
（2）這些粒子中，從O沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的粒子，從O到C耗時(shí)最長(zhǎng)，
時(shí)間：t=$\frac{s}{{v}_{0}}$，最長(zhǎng)時(shí)間：t_max=$\frac{{s}_{最大}}{{v}_{0}}$=$\frac{πa}{{v}_{0}}$=$\frac{πm}{qB}$；
（3）這些粒子經(jīng)過(guò)①區(qū)域偏轉(zhuǎn)后方向都變成與+x軸平行；
接著勻速直線進(jìn)入②區(qū)域，經(jīng)過(guò)②區(qū)域偏轉(zhuǎn)又都通過(guò)C點(diǎn)；
從C點(diǎn)進(jìn)入③區(qū)域，經(jīng)過(guò)③區(qū)域偏轉(zhuǎn)，離開(kāi)③區(qū)域時(shí)，所有粒子都變成與-y軸平行（即垂直進(jìn)入電場(chǎng)）
對(duì)于從x=2a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，在x軸負(fù)方向的分運(yùn)動(dòng)有：2a=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²，解得：t₁=$\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$，
則該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)為：y₁=-a-v₀t₁=-a-Ba$\sqrt{\frac{4qa}{mE}}$，
對(duì)于從x=3a進(jìn)入電場(chǎng)的粒子，在x軸負(fù)方向的分運(yùn)動(dòng)有：3a=$\frac{1}{2}$at₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₂²，解得：t₂=$\sqrt{\frac{6ma}{qE}}$，
則該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的坐標(biāo)為：y₂=-a-v₀t₂=-a-Ba$\sqrt{\frac{6qa}{mE}}$，
這群粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的區(qū)間為：-a-Ba$\sqrt{\frac{6qa}{mE}}$≤y≤-a-Ba$\sqrt{\frac{4qa}{mE}}$；
答：（1）粒子從O點(diǎn)出射時(shí)的速率v₀為$\frac{qBa}{m}$；
（2）這群粒子中，從O點(diǎn)射出至運(yùn)動(dòng)到x軸上的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{πm}{qB}$；
（3）這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍是：-a-Ba$\sqrt{\frac{6qa}{mE}}$≤y≤-a-Ba$\sqrt{\frac{4qa}{mE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)、電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，本題有一定的難度，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵；粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)都是用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的思想，這是難點(diǎn)，也是考試的熱點(diǎn)，要透徹理解．