Question

8．甲、乙兩車均沿同一平直公路同向行駛（該路段限速72km/h）．初始時刻，甲車在乙車前方s₀=65m處．甲車始終以v₁=15m/s的速度勻速運(yùn)動．乙車作初速度為零，加速度a=2.5m/s²的勻加速直線運(yùn)動．求：
（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離s_m；
（2）經(jīng)過多少時間t，乙車追上甲車？

Answer 1

分析 （1）在乙車追上甲車之前兩車速度相等時相距最遠(yuǎn)，據(jù)速度時間關(guān)系和位移時間關(guān)系求得最大距離；
（2）乙車追上甲車時兩車位移差等于65m，據(jù)位移時間關(guān)系求解，關(guān)鍵是乙車是否一直勻加速運(yùn)動要進(jìn)行判斷；

解答 解：（1）兩車速度相同時距離最大，設(shè)經(jīng)時間t₁達(dá)到最大距離，則有：
v₂=at₁=v₁
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=$\frac{15}{2.5}s=6s$
此時甲車位移為：x₁=v₁t₁=15×6=90m
乙車位移為：${x}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2.5×{6}_{\;}^{2}=45m$
兩車之間最大距離為：s_m=x₁+s₀-x₂=90+65-45=110m
（2）如果甲一直做勻加速直線運(yùn)動，乙車追上甲車需滿足x₂=x₁+s₀，即：
$\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}={v}_{1}^{\;}t+{s}_{0}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)$\frac{1}{2}×2.5{t}_{\;}^{2}=15t+65$
解得：t=$2（3+\sqrt{61}）$s≈21.6s
此時甲的速度${v}_{甲}^{\;}=at=2.5×21.6＞20m/s$
所以甲先做勻加速運(yùn)動，達(dá)到最大速度后勻速運(yùn)動
$\frac{{v}_{m}^{2}}{2a}+{v}_{m}^{\;}（t-\frac{{v}_{m}^{\;}}{a}）={v}_{1}^{\;}t+{s}_{0}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)：t=29s
答：（1）乙車追上甲車之前，兩車之間的最大距離s_m為110m；
（2）過29s時間乙車追上甲車．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是掌握追及相遇問題相距最大或最近距離的臨界條件是兩車速度相等．