Question

5．如圖所示，半徑為R=2m的光滑絕緣半圓軌道ABC與傾角θ=37°的粗糙絕緣斜面軌道DC相切于C，圓軌道的直徑AC與斜面垂直，虛線框?yàn)殡妶?chǎng)區(qū)域，左邊界過C點(diǎn)，初始內(nèi)部無電場(chǎng)．質(zhì)量為m=2kg的帶正電q的小球以初速度v₀=4m/s相切于A點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道內(nèi)存，之后經(jīng)半圓軌道沿斜面剛好滑到與A點(diǎn)等高的D處，此時(shí)虛線框內(nèi)出現(xiàn)E=$\frac{3mg}{4q}$水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)．已知當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
（1）小球從A到D的整個(gè)過程中摩擦力做的功W；
（2）小球到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)，對(duì)軌道的壓力大��； 
（3）在D點(diǎn)應(yīng)給小球多大初動(dòng)能E_K，才能使小球沿軌道向下運(yùn)動(dòng)恰好返回A點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）小球沿斜面上滑過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解W；
（2）從拋出點(diǎn)到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，在B點(diǎn)，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程即可求解；
（3）剛好能到達(dá)A點(diǎn)，由重力與電場(chǎng)力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式，由D到A的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）小球沿斜面上滑過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
${W}_{f}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-16J$
（2）設(shè)小球達(dá)到B點(diǎn)的速度為v，則從拋出點(diǎn)到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$mgR（1+cos37°）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
在B點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=108N
由牛頓第三定律可知，小球在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為108N，方向向下，
（3）剛好能到達(dá)A點(diǎn)，由重力與電場(chǎng)力的合力提供向心力，則有：
F=$\frac{5}{4}mg=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{5}{4}gR}$
由D到A的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$W-2EqEsin37°=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}-{E}_{K}$
解得：E_K=77J
答：（1）小球從A到D的整個(gè)過程中摩擦力做的功W為-16J；
（2）小球到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小為108N；
（3）在D點(diǎn)應(yīng)給小球77J的初動(dòng)能E_K，才能使小球沿軌道向下運(yùn)動(dòng)恰好返回A點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理以及向心力公式的直接應(yīng)用，解題時(shí)要選擇合適的研究對(duì)象和研究過程列式，注意剛好能到達(dá)A點(diǎn)，則在A點(diǎn)由重力與電場(chǎng)力的合力提供向心力，難度適中．