Question

15．如圖所示，一個(gè)很長(zhǎng)的豎直放置的圓柱形磁鐵，在其外部產(chǎn)生一個(gè)中心輻射磁場(chǎng)（磁場(chǎng)水平向外），其大小為B=$\frac{k}{r}$（其中r為輻射半徑--考察點(diǎn)到圓柱形磁鐵中心軸線的距離，k為常數(shù)），設(shè)一個(gè)與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），制成鋁環(huán)的鋁絲其橫截面積為S，鋁環(huán)由靜止下落通過磁場(chǎng)，下落過程中鋁環(huán)平面始終水平，已知鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ₀，當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，試求：
（1）鋁環(huán)下落的速度為v時(shí)鋁環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是多大？
（2）鋁環(huán)下落的最終速度v_m是多大？
（3）如果從開始到下落高度為h時(shí)，速度最大，則這一過程中鋁環(huán)中產(chǎn)生了多少熱量？

Answer 1

分析 （1）抓住切割的有效長(zhǎng)度等于鋁環(huán)的周長(zhǎng)求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大�。�
（2）當(dāng)重力等于安培力時(shí)，速度最大，根據(jù)平衡，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、閉合電路歐姆定律以及安培力大小公式求出最終速度v_m的大小．
（3）根據(jù)能量守恒定律求熱量．

解答 解：（1）由題意知鋁圓環(huán)所在處在磁感應(yīng)強(qiáng)度B為 B=$\frac{k}{r}$=$\frac{k}{R}$
圓環(huán)的有效切割長(zhǎng)度為其周長(zhǎng) 即 L=2πR
當(dāng)鋁環(huán)的速度為v時(shí)，切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv=2kπv
（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時(shí)，有最大速度v_m，此時(shí)安培力
 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{0}}$
由平衡條件可知：mg=F
又 R₀=$ρ\frac{2πR}{S}$，m=ρ₀•2πR•S
解得：v_m=$\frac{ρ{ρ}_{0}g}{{B}^{2}}$
（3）由能量守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q
解得 Q=2πRρ₀Sgh-$\frac{πR{ρ}^{2}{ρ}_{0}^{3}S{g}^{2}}{{B}^{4}}$
答：
（1）鋁環(huán)下落的速度為v時(shí)鋁環(huán)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是2kπv．
（2）鋁環(huán)下落的最終速度v_m是$\frac{ρ{ρ}_{0}g}{{B}^{2}}$．
（3）如果從開始到下落高度為h時(shí)，速度最大，則這一過程中鋁環(huán)中產(chǎn)生2πRρ₀Sgh-$\frac{πR{ρ}^{2}{ρ}_{0}^{3}S{g}^{2}}{{B}^{4}}$的熱量．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)與力學(xué)以及能量的綜合，掌握切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、閉合電路歐姆定律等知識(shí)，知道當(dāng)重力等于安培力時(shí)，速度最大．