Question

8．小轎車以20m/s的速度在平直公路上勻速行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)正前方有個(gè)收費(fèi)站，若司機(jī)剎車使車勻減速恰好停在繳費(fèi)窗口，繳費(fèi)后勻加速到20m/s后繼續(xù)勻速前行．已知小轎車剎車時(shí)的加速度大小為2m/s²，停車?yán)U費(fèi)所用時(shí)間為30s，啟動(dòng)時(shí)加速度為1m/s²．
（1）司機(jī)從開始剎車到恢復(fù)原速所需時(shí)間為多少？這一過(guò)程通過(guò)的位移是多少？
（2）因國(guó)慶放假期間，全國(guó)高速路免費(fèi)通行，小轎車可以不停車通過(guò)收費(fèi)站，但要求轎車通過(guò)收費(fèi)窗口前9m區(qū)間速度不超過(guò)6m/s，則國(guó)慶期間該小轎車應(yīng)離收費(fèi)窗口多遠(yuǎn)處開始剎車？因不停車通過(guò)最多可以節(jié)約多少時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）轎車先減速后加速，根據(jù)速度時(shí)間公式和位移時(shí)間公式即可求得；
（2）分段研究，收費(fèi)時(shí)總時(shí)間為：減速到0的時(shí)間，加上收費(fèi)的時(shí)間，再加上加速到20m/s的時(shí)間．
不收費(fèi)時(shí)的總時(shí)間為：減速到6m/s的時(shí)間，加上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，加上加速到20m/s的時(shí)間，還要加上勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
上述時(shí)間的差值即為節(jié)約的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)司機(jī)減速、加速的位移分別為S_減、S_加，剎車和啟動(dòng)的加速度大小分別為a₁，a₂
則其減速時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{20}{2}s$=10s
停車?yán)U費(fèi)所用時(shí)間  t₂=30s
后加速時(shí)間  t₃=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{20}{1}$s=20s
所以司機(jī)從開始剎車到恢復(fù)原速所需時(shí)間為：t₁+t₂+t₃=10+30+20=60s
這一過(guò)程通過(guò)的位移是：S=S_減+S_加=$\frac{1}{2}$v₁t₁+$\frac{1}{2}$v₁t₃=100+200=300m
（2）轎車應(yīng)該在收費(fèi)窗口前9m處速度減為v₂=6m/s，則v₁²-v₂²=2as₁
得車減速位移：${s}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}{-v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{2{0}^{2}-{6}^{2}}{2×2}m=91m$
所以，轎車應(yīng)離收費(fèi)窗口91+9=100m處開始剎車
若不停車收費(fèi)也是在窗前100m開始剎車：
其減速時(shí)間為${t}_{4}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{20-6}{2}s=7s$
窗口前勻速時(shí)間：t₅=$\frac{{s}_{2}}{{v}_{2}}=\frac{9}{6}$=1.5s
窗口后加速到20m/s所用時(shí)間為：${t}_{6}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{20-6}{1}s=14s$
加速運(yùn)動(dòng)的位移為S₃=$\frac{1}{2}$（v₁+v₂）t₆=$\frac{1}{2}$×（20+6）×14=182m
之后勻速時(shí)間為t₇=$\frac{{s}_{甲}-{s}_{3}}{{v}_{1}}=\frac{200-182}{20}$s=0.9s
所以若不停車經(jīng)過(guò)窗口前100m到窗口后200m的總時(shí)間為：
t₄+t₅+t₆+t₇=7+1.5+14+0.9=23.4s
所以不停車通過(guò)可以節(jié)約時(shí)間為60-23.4=36.6（s）的時(shí)間
答：（1）司機(jī)從開始剎車到恢復(fù)原速所需時(shí)間為60s，這一過(guò)程通過(guò)的位移是300m
（2）因不停車通過(guò)最多可以節(jié)約為36.6s

點(diǎn)評(píng) 分析問(wèn)題時(shí)，一定要養(yǎng)成畫草圖分析問(wèn)題的良好習(xí)慣．解題的基本思路是：①分別對(duì)兩物體進(jìn)行研究；②畫出運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖；③列出位移方程④找出時(shí)間關(guān)系，速度關(guān)系⑤解出結(jié)果，必要時(shí)進(jìn)行討論．