Question

19．如圖所示，一半徑r=0.2m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧形槽底端B與水平傳帶相接，傳送帶的運(yùn)行速度為v₀=4m/s，長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.25m，滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，DEF為固定于豎直平面內(nèi)的一段內(nèi)壁光滑的中空方形細(xì)管，EF段被彎成以O(shè)為圓心、半徑R=0.25m的一小段圓弧，管的D端彎成與水平傳帶C端平滑相接，O點(diǎn)位于地面，OF連線豎直．一質(zhì)量為M=0.1kg的物塊a從圓弧頂端A點(diǎn)無(wú)初速滑下，滑到傳送帶上后做勻加速運(yùn)動(dòng)，過(guò)后滑塊被傳送帶送入管DEF，管內(nèi)頂端F點(diǎn)放置一質(zhì)量為m=0.1kg的物塊b．已知a、b兩物塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，a、b橫截面略小于管中空部分的橫截面，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）滑塊a到達(dá)底端B時(shí)的速度v_B；
（2）滑塊a剛到達(dá)管頂F點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力；
（3）滑塊a滑到F點(diǎn)時(shí)與b發(fā)生正碰并粘在一起飛出后落地，求落點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x；（不計(jì)空氣阻力）
（4）已知若a的質(zhì)量M≥m，a與b發(fā)生彈性碰撞，求物塊b滑過(guò)F點(diǎn)后在地面的首次落點(diǎn)到O點(diǎn)距離x的范圍．（$\sqrt{5}$=2.2）

Answer 1

分析 （1）滑塊從A下滑到B的過(guò)程中，支持力不做功，由機(jī)械能守恒定律求解速度v_B；
（2）先研究滑塊傳送帶上的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再研究滑塊沖上細(xì)管的過(guò)程：滑塊在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出滑塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，滑塊從C至F，由機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)F點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求出管道對(duì)滑塊的彈力，由牛頓第三定律即可解得滑塊在F點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力；
（3）a、b碰撞過(guò)程，遵守動(dòng)量守恒，即可求出碰后的共同速度，之后兩滑塊一起做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求解滑塊a的落地點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x．
（4）根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒定律得出b的速度表達(dá)式，得出b的速度范圍，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物塊b滑過(guò)F點(diǎn)后在地面的首次落點(diǎn)到O點(diǎn)距離x的范圍．

解答 解：（1）設(shè)滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度為v_B，由機(jī)械能守恒定律，有$Mgr=\frac{1}{2}M{v_B}^2$
解得${v_B}=\sqrt{2gr}$=2m/s                            
（2）滑塊在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)，受到傳送帶對(duì)它的滑動(dòng)摩擦力，
由牛頓第二定律μMg=Ma，
滑塊對(duì)地位移為L(zhǎng)，末速度為v_C，設(shè)滑塊在傳送帶上一直加速
由速度位移關(guān)系式$2aL={v_C}^2-{v_B}^2$，
代入數(shù)據(jù)解得v_C=3m/s＜4m/s，可知滑塊未達(dá)共速                 
滑塊從C至F，由機(jī)械能守恒定律，有$\frac{1}{2}M{v_C}^2=MgR+\frac{1}{2}M{v_F}^2$，
代入數(shù)據(jù)解得v_F=2m/s
在F處由牛頓第二定律$Mg+{F_N}=M\frac{{{v_F}^2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得F_N=0.6N                                               
根據(jù)牛頓第三定律知
管上壁受壓力為0.6N，方向豎直向上．
（3）設(shè)碰撞后物塊a、b的速度為 v，規(guī)定a的速度方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒得，
Mv_F=（M+m）v，
解得$v=\frac{{v}_{F}}{2}=1m/s$，
根據(jù)x=vt，R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，代入數(shù)據(jù)解得x=$\frac{\sqrt{5}}{10}m$．
（4）設(shè)碰撞后物塊a、b的速度分別為V_a、V_b，碰撞過(guò)程由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒得Mv_F=Mv_a+mv_b
$\frac{1}{2}M{v_F}^2=\frac{1}{2}Mv_a^2+\frac{1}{2}mv_b^2$
聯(lián)立解得 ${v_b}=\frac{2M}{M+m}{v_F}=\frac{{2{v_F}}}{{1+\frac{m}{M}}}$
因?yàn)镸≥m，由上式可知，碰撞后V_F≤V_b＜2V_F，即2m/s≤V_b＜4m/s
物塊b離開(kāi)E點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，首次落點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為x，則有x=v_b•t，
$R=\frac{1}{2}g{t^2}$
由以上三式聯(lián)立解得  0.44m≤x＜0.88m
答：（1）滑塊a到達(dá)底端B時(shí)的速度為2m/s；
（2）滑塊a剛到達(dá)管頂F點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力為0.6N；
（3）落點(diǎn)到O點(diǎn)的距離x為$\frac{\sqrt{5}}{10}m$．
（4）物塊b滑過(guò)F點(diǎn)后在地面的首次落點(diǎn)到O點(diǎn)距離x的范圍為 0.44m≤x＜0.88m．

點(diǎn)評(píng) 本題按時(shí)間順序進(jìn)行分析，關(guān)鍵要把握每個(gè)過(guò)程所遵守的物理規(guī)律，運(yùn)用機(jī)械能守恒、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合進(jìn)行求解．