Question

5．天宮一號、二號的成功發(fā)射以及與“神舟”飛船的交會對接為我國建立長期運行的空間站積累的寶貴的經驗，加入我國的空間站進入運動軌道后，其運行周期為T，距地面的高度為h，已知地球半徑為R，引力常量為G，若將天宮一號的運行軌道看作圓軌道，則地球的質量為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，地球的平均密度為$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；一艘宇宙飛船飛近某一新發(fā)現的行星，并進入靠近該行星表面的圓形軌道繞行數圈后，著陸在行星上，宇宙飛船上備有以下實驗儀器：
A、彈簧秤一個
B、精確秒表一只
C、天平一臺（附砝碼一套）
D、物體一個
為測定該行星的質量M和半徑R，宇航員在繞行及著陸后各進行一次測量，一句測量數據可以求出M和R（已知萬有引力常量G）
（1）繞行時測量所用的儀器為B（用儀器的字母序號表示），所測物理量有周期T；
（2）著陸后測量所用的儀器為ACD（用儀器的字母序號表示），所測物理量有物體重量F和質量m，用測量數據求該星球質量M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$，用測量數據求該星球半徑R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

Answer 1

分析 天宮一號飛船繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由萬有引力公式與牛頓第二定律求出地球的質量，然后應用密度公式求出地球的平均密度．
（1）（2）要測量行星的半徑和質量，根據重力等于萬有引力和萬有引力等于向心力，列式求解會發(fā)現需要測量出行星表面的重力加速度和行星表面衛(wèi)星的公轉周期，從而需要選擇相應器材．

解答 解：天宮一號飛船繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），解得，地球質量：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
地球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（1）行星表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
飛船繞行星做圓周運動，萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：R=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$----①
M=$\frac{{g}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G}$-----②
由牛頓第二定律：F=mg------③
因而需要用秒表測量繞行時周期T，用天平測量質量m，用彈簧秤測量重力F；
（2）著陸后測量所用的儀器為ACD，所測物理量為物體重量F和質量m．
由②③得：M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$，由①③得R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；
故答案為：$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（1）B，周期T；（2）ACD，物體重量F和質量m．$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$；$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，知道萬有引力提供向心力，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題；
（1）（2）的解題關鍵是：先要弄清實驗原理，再根據實驗原理選擇器材，計算結果．