Question

13．“嫦娥一號”探月衛(wèi)星的路線簡化后的示意圖如圖所示．衛(wèi)星由地面發(fā)射后經(jīng)過“發(fā)射軌道”進入“停泊軌道”，然后在停泊軌道經(jīng)過調(diào)速后進入“地月轉移軌道”，再次調(diào)速后進入“工作軌道”，開始對月球進行探測．若地球與月球的質量之比為$\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}$=a，衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道的半徑之比為$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=b，衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道上均可視為做勻速圓周運動．
（1）求：衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行時的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$．
（2）探月衛(wèi)星在地月轉移軌道上運行時，所受兩者的萬有引力的合力有沒有可能等于零？如果你認為沒有，請說明理由？如果你認為有，請求出此時探月衛(wèi)星距地、月中心的距離之比$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，求出周期，看與什么因素有關，然后求出周期之比；
（2）當嫦娥一號處于地月間某個位置時，可能所受合力為零，根據(jù)萬有引力定律求得距離之比．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
所以可得$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}{（\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}）}}$=$\sqrt{\frac{^{3}}{a}}$
（2）嫦娥一號在月地間某個位置時只受地球和月球的萬有引力，其合力可以為零，根據(jù)合力為零的條件可知
$\frac{G{M}_{1}m}{{L}_{1}^{2}}=G\frac{{M}_{2}m}{{L}_{2}^{2}}$
可得$\frac{{L}_{1}}{{L}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{1}}{{M}_{2}}}$=$\sqrt{a}$
答：（1）衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行時的周期之比為$\sqrt{\frac{^{3}}{a}}$
（2）探月衛(wèi)星所受地球和月球的萬有引力合力可以為零，此時探月衛(wèi)星距地、月中心的距離之比為$\sqrt{a}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供環(huán)繞天體勻速圓周運動的向心力表示出需要比較的物理量再根據(jù)已知量求解．