Question

8．如圖所示，間距為L，足夠長的光滑金屬導軌MN和PQ放在傾角為θ的斜面上，在N和Q之間連有一個阻值為R電阻．兩導軌間有一邊長為$\frac{L}{2}$的正方形區(qū)域abcd，該區(qū)域內有方向垂直斜面向上的勻強磁場，磁感應強度為B．在導軌上放置一根與導軌垂直的金屬桿，金屬桿質量為m、電阻為r．金屬桿從ab處無初速釋放，運動過程中始終與導軌保持垂直且接觸良好，金屬桿離開磁場前已做勻速運動，不計導軌的電阻，重力加速度為g．求：
（1）金屬桿離開磁場的瞬間流過R的電流大小和方向；
（2）金屬桿穿過整個磁場過程中R上產生的電熱．

Answer 1

分析 （1）桿出磁場前已做勻速運動，重力、支持力與安培力平衡，由安培力公式F=BIL和平衡條件求解電流大��；由右手定則判斷感應電流的方向．
（2）桿產生的感應電動勢E=$\frac{BLv}{2}$，又根據(jù)閉合歐姆定律得到E=I（R+r），聯(lián)立可求得金屬桿勻速運動的速度v；金屬桿穿過整個磁場過程中，根據(jù)能量守恒定律求解回路中產生的總熱量，根據(jù)兩個電阻并聯(lián)，求解R上產生的電熱．

解答 解：（1）金屬桿離開磁場前做勻速運動，通過R的電流大小為I，由電路可知，通過金屬桿電流為I．由安培力及平衡條件得：
F_A=BIL
且F_A=mgsinθ
解得：I=$\frac{mgsinθ}{BL}$
由右手定則得通過R的電流方向為由N流向Q． 
（2）設金屬桿離開磁場時的速度為v，由法拉第電磁感應定律及歐姆定律得：
E=$\frac{BLv}{2}$，E=I（R+r），
聯(lián)立得：v=$\frac{2mg（R+r）sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
由焦耳定律及能量守恒定律得：
Q=$\frac{mgLsinθ}{2}$-$\frac{1}{2}$mv²
又 Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
聯(lián)立以上各式解得：
Q_R=$\frac{mR}{2（R+r）}（gLsinθ-\frac{4{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}）$
答：（1）金屬桿離開磁場的瞬間流過R的電流大小$\frac{mgsinθ}{BL}$ 和方向由N指向Q；
（2）金屬桿穿過整個磁場過程中R上產生的電熱$\frac{mR}{2（R+r）}（gLsinθ-\frac{4{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}si{n}^{2}θ}{{B}^{4}{L}^{4}}）$．

點評 本題是電磁感應中電路問題，掌握安培力公式、閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應定律是基礎．要注意金屬桿產生的感應電動勢不是E=BLv，而是E=$\frac{BLv}{2}$，有效切割的長度為$\frac{L}{2}$．