Question

6．2020年X星球一艘載人飛船在返回X星球的過程中遭遇太空垃圾陣，飛船不幸被擊中迫降到最近的Z星球上．宇航員在降落以后為了解Z星球，以速率v豎直上拋一小球，經(jīng)時(shí)間t物體落回拋出點(diǎn)．經(jīng)過搶修飛船恢復(fù)動(dòng)力，宇航員駕駛飛船在無動(dòng)力的情況下繞Z星球表面附近能保持速率v₁飛行，萬有引力常量為G，不計(jì)一切阻力，求：
（1）Z星球的半徑R_Z
（2）Z星球的質(zhì)量M_Z．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合速度時(shí)間公式求出Z星球表面的重力加速度，根據(jù)重力提供向心力，結(jié)合線速度的大小求出Z星球的半徑．
（2）在根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合線速度和半徑的大小求出Z星球的質(zhì)量．

解答 解：（1）由上拋運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，根據(jù)速度時(shí)間公式得：v=g_z$\frac{t}{2}$，
由萬有引力定律提供向心力：$m{g_z}=m\frac{{{v_1}^2}}{R_z}$，
得：${R_Z}=\frac{{{v_1}^2}}{2v}t$．
（2）由萬有引力定律提供向心力：$\frac{{{M_z}mG}}{R_Z^2}=m\frac{{{v_1}^2}}{R_z}$，
解得：${M_Z}=\frac{v_1^4}{2Gv}t$．
答：（1）Z星球的半徑為$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2v}t$；
（2）Z星球的質(zhì)量為$\frac{{{v}_{1}}^{4}}{2Gv}t$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．