Question

10．彈簧在學(xué)校組織的趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某科技小組為大家提供了一個(gè)寓學(xué)于樂(lè)的游戲．如圖所示，將一質(zhì)量為0.1kg的鋼球放在O點(diǎn)，用彈射裝置將其彈出，其實(shí)沿著光滑的半環(huán)形軌道OA和AB運(yùn)動(dòng)，BC段為一段長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m的粗糙平面，DEFG為接球槽．圓弧OA和AB的半徑分別為r=0.2m，R=0.4m，小球與BC段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.7，C點(diǎn)離接球槽的高度為h=1.25m，水平距離為x=0.5m，接球槽足夠大，g取10m/s²．求：
（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點(diǎn)的速度多大？
（2）在B位置對(duì)半圓軌道的壓力多大？
（3）要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v₀至少多大？

Answer 1

分析 （1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點(diǎn)由重力提供向心力，可求解速度；
（2）從A到B根據(jù)動(dòng)能定理求解B點(diǎn)的速度，在B位置時(shí)，對(duì)鋼球根據(jù)牛頓第二定律求解支持力，再根據(jù)牛頓第三定律得到壓力大��；
（3）鋼球剛好落入槽中時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，分解為兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)求解經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度，從O到C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有求解v₀，

解答 解：（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點(diǎn)有：$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$
解得：${v}_{A}=\sqrt{gr}=\sqrt{2}m/s$
（2）從A到B根據(jù)動(dòng)能定理有：$mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在B位置時(shí)，對(duì)鋼球：${F}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F_B=5.5N
根據(jù)牛頓第三定律，鋼球?qū)Π雸A軌道的壓力為5.5N；
（3）使鋼球剛好落入槽中時(shí)對(duì)鋼球：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
解得：v_C=1m/s
從O到C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mgR-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{21}m/s$
故要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v₀至少為$\sqrt{21}m/s$．
答：（1）要使鋼球恰好不脫離圓軌道，鋼球在A點(diǎn)的速度為$\sqrt{2}m/s$；
（2）在B位置對(duì)半圓軌道的壓為5.5N；
（3）要使鋼球最終能落入槽中，彈射速度v₀至少為$\sqrt{21}m/s$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律及平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．