Question

12．如圖所示K與虛線MN之間是加速電場．虛線MN與PQ之間是勻強電場，虛線PQ與熒光屏之間是勻強磁場，且MN、PQ與熒光屏三者互相平行．電場和磁場的方向如圖所示．圖中A點與O點的連線垂直于熒光屏．一帶正電的粒子從A點離開加速電場，速度方向垂直于偏轉(zhuǎn)電場方向射入偏轉(zhuǎn)電場，在離開偏轉(zhuǎn)電場后進入勻強磁場，最后恰好垂直地打在圖中的熒光屏上．已知電場和磁場區(qū)域在豎直方向足夠長，加速電場電壓與偏轉(zhuǎn)電場的場強關系為U=$\frac{Ed}{2}$，式中的d是偏轉(zhuǎn)電場的寬度且為已知量，磁場的磁感應強度B與偏轉(zhuǎn)電場的電場強度E和帶電粒子離開加速電場的速度v₀關系符合表達式v₀=$\frac{E}{B}$，如圖所示，試求：
（1）畫出帶電粒子的運動軌跡示意圖，
（2）磁場的寬度L為多少？
（3）帶電粒子最后在電場和磁場中總的偏轉(zhuǎn)距離是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子經(jīng)加速電場加速，進入偏轉(zhuǎn)電場做類平拋運動，然后進入磁場做勻速圓周運動，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，說明帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的角度與在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度大小相等，方向相反，作出軌跡如圖．
（2）用程序法研究：用動能定理求解粒子獲得的速度v₀，根據(jù)運動的分解求出偏轉(zhuǎn)電場中偏轉(zhuǎn)的角度，由牛頓定律求出磁場中軌跡半徑，幾何關系求出磁場的寬度．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中作圓周運動，帶電粒子最終垂直地打在熒光屏上，說明帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的角度與在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度大小相等，方向相反，其軌跡如圖所示．
（2）帶電粒子在加速電場中加速，
由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運動，設偏轉(zhuǎn)角為θ，
則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，v_y=at，a=$\frac{qE}{m}$，t=$\fracjtwybij{{v}_{0}}$，
解得：θ=45°，豎直速度與水平速度大小相等，帶電粒子離開偏轉(zhuǎn)電場速度為v=$\sqrt{2}$v₀，
設帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的半徑為R，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
 又U=$\frac{1}{2}$Ed，代入解得：R=$\sqrt{2}$d，帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的偏轉(zhuǎn)角與在磁場中的偏轉(zhuǎn)相等，
才能垂直打在熒光屏上，由圖可知，磁場寬度L=Rsinθ=d；
（3）帶電粒子在磁場中的半徑為R=$\sqrt{2}$d，
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中增加的動能與在加速度電場中獲得的動能相同，
設帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中的偏轉(zhuǎn)距離為：△y₁₌$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$（$\fracodhmnxe{{v}_{0}}$）²，解得：△y_1=0.5d，
在磁場中偏轉(zhuǎn)距離為△y₂，△y₂=R（1-cosθ），解得：△y₂=0.414d，
粒子在電場、磁場中偏轉(zhuǎn)的總距離：△y=△y₁+△y₂=0.9d；
答：（1）帶電粒子的運動軌跡示意圖如圖所示；
（2）磁場的寬度L為d；
（3）帶電粒子最后在電場和磁場中總的偏轉(zhuǎn)距離是0.9d．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子在電場做類平拋運動，運用運動的合成與分解方法處理，在磁場中做勻速圓周運動，關鍵是畫軌跡．