Question

8．為了探測某星球，載著登陸艙的探測飛船在以該星球中心為圓心、半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離該星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質(zhì)量為m₂，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 該星球的質(zhì)量為M=$\frac{{4π2{γ_1}}}{{GT{\;}_2}}$
• B． 登陸艙在半徑為r₁與半徑為r₂的軌道上運動時的速度大小之比為$\frac{v_1}{v_2}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$
• C． 該星球表面的重力加速度為g=$\frac{{4{π^2}{γ_1}}}{T_1^2}$
• D． 登陸艙在半徑為r₂的軌道上做圓周運動的周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{γ_2}^3}}{{{γ_1}^3}}}$

Answer 1

分析 研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量．
研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度和周期．再通過不同的軌道半徑進行比較．

解答 解：A、研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，
得出：
M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{T}_{1}}$，故A錯誤．
B、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
在半徑為r的圓軌道上運動：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得出：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，表達式里M為中心體星球的質(zhì)量，r為運動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故B正確．
C、根據(jù)圓周運動知識，a=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$只能表示在半徑為r₁的圓軌道上向心加速度，而不等于X星球表面的重力加速度，故C錯誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運動：$G\frac{M{m}_{\;}}{{{r}_{\;}}^{2}}=m{r}_{\;}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{\;}}^{2}}$，得出：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．表達式里M為中心體星球的質(zhì)量，R為運動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的周期大小關(guān)系為：T₂=${T}_{1}\sqrt{\frac{{{γ}_{2}}^{3}}{{{γ}_{1}}^{3}}}$，故D正確．
故選：BD．

點評 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再進行之比．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．