Question

3．如圖所示，固定的絕熱氣缸內有一質量為m的“T”型絕熱活塞（體積可忽略），距氣缸底部h₀處連接一U形管（管內氣體的體積忽略不計）．初始時，封閉氣體溫度為T₀，活塞距離氣缸底部為1.5h₀，兩邊水銀柱存在高度差．已知水銀的密度為ρ，大氣壓強為p₀，氣缸橫截面積為s，活塞豎直部分長為1.2h₀，重力加速度為g．試問：
（1）初始時，水銀柱兩液面高度差多大？
（2）緩慢降低氣體溫度，兩水銀面相平時溫度是多少？
（3）讓溫度回復到T₀，保持溫度不變，在活塞上加上一個質量也是m的重物，求穩(wěn)定后活塞離底部的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)活塞平衡求得氣體壓強，再根據(jù)水銀柱高度差求出氣體壓強表達式，聯(lián)立得到高度差；
（2）等壓變化，根據(jù)蓋-呂薩克定律求解出溫度
（3）溫度保持原來的．則氣體做等溫變化，玻意爾定律得 p₁ V₁=p₂ V₂，討論得到高度

解答 解：（1）選取活塞為研究對象，對其受力分析并根據(jù)平衡條件有
p₀s+mg=ps         ①
可得被封閉氣體壓強      p=p₀+$\frac{mg}{S}$        ②
設初始時水銀柱兩液面高度差為h，則被封閉氣體壓強
p=p₀+ρgh           ③
聯(lián)立以上兩式可得，初始時液面高度差為
h=$\frac{m}{ρS}$                   
（2）降低溫度直至液面相平的過程中，被封閉氣體先等壓變化，后等容變化．
初狀態(tài)：p₁=p₀+mg/s，V₁=1.5h₀S，T₁=T₀；
末狀態(tài)：p₂=p₀，V₂=1.2h₀s，T₂=？
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程有   $\frac{{{p_1}{V_1}}}{T_1}=\frac{{{p_2}{V_2}}}{T_2}$
代入數(shù)據(jù)，可得${T_2}=\frac{{4{p_0}{T_0}S}}{{5{p_0}S+5mg}}$⑥
（3）溫度保持原來的．則氣體做等溫變化
p₁=p₀+$\frac{mg}{S}$，V₁=1.5h₀S，
p₂=p₀+2$\frac{mg}{S}$，V₂=hS，
玻意爾定律得   p₁ V₁=p₂ V₂
得           $h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}$
討論：如果$h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}≤1.2{h_0}$
即$m≥\frac{{{p_0}s}}{3g}$
則          h=1.2h₀                              
如果   $m＜\frac{{{p_0}s}}{3g}$則$h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}$
答：（1）初始時，水銀柱兩液面高度差$\frac{m}{ρS}$（2）緩慢降低氣體溫度，兩水銀面相平時溫度${T_2}=\frac{{4{p_0}{T_0}S}}{{5{p_0}S+5mg}}$
（3）讓溫度回復到T₀，保持溫度不變，在活塞上加上一個質量也是m的重物，求穩(wěn)定后活塞離底部的高度是$m≥\frac{{{p_0}s}}{3g}$
則 h=1.2h₀
如果 $m＜\frac{{{p_0}s}}{3g}$則$h=\frac{{3（{p_0}s+mg）}}{{2（{p_0}s+2mg）}}{h_0}$

點評 本題關鍵求出氣體壓強，然后根據(jù)等壓變化公式列式求解，難度較大．